Pourquoi tout nombre exposant 0 est égal à 1...

On vous l'a très souvent répété à l'école, mais ce n'est que trop peu souvent qu'on a droit à une explication. Pourquoi A^0=1, A étant un réel différent de zéro ?


En fait, c'est une démonstration tout à fait simple, pour ne pas dire triviale !

Comme nous le savons tous, 1 = A/A (A étant un réel différent de zéro.)

Dans ce cas nous pouvons dire que 1 = A^1/A^1.

Lorsque l'on divise deux puissance de même base, il suffit de soustraire les exposants. On a donc :

1 = A^(1-1)

et donc

1 = A^0

CQFD !

 
 
~Isator~ Publié le : 22/08/2006

 

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Pas besoin que A soit un entier, si A est un réel cela fonctionne toujours.
Par contre, ce que tu aurais dû préciser, c'est que A doit être différent de 0, sinon ça ne marche plus;
car: 0^n=0, avec n entier naturel (pour simplifier) et on ne peut pas diviser par 0. Il est interdit donc d'écrire A/A.


~matthieux~

 

Pour comprendre cela, il faut en fait revenir à la définition même de l'exponentiation qui stipule que la fonction exponentielle est définie par la fonction qui transforme une multiplication en addition: e^a*e^b = e^(a+b). C'est la fonction qui est proportionnelle à sa dérivée, telle que f(0)=1.

Comme tout nombre A élevé à une puissance x (entière ou réelle) s'écrit de la forme A^x = e^xlnA.

C'est ainsi que nous pouvons créer les règles sur les puissances qui permettent de démontrer (comme tu l'as fait) que A^0 = 1.

~Mikihisa~

 

Vous faites une démonstration là ou il n'y a pas lieu d'en faire. D'après la forme de cette démonstration, je suppose quand même que vous vous basez sur la définition de l'exponentielle en tant que famille de morphismes du groupe (R,+) dans le groupe (R*+,x), c'est à dire des applications f définies par :
f(0) = 1
f(a+b) = f(a)*f(b)
f(-a) = f(a)^(-1)
(on montre que ce sont les applications de la forme t -> a^t avec a une constante réelle strictement positive)
Or c'est dans la définition d'un morphisme que d'envoyer le neutre d'un groupe sur le neutre de l'autre groupe, inutile de le démontrer, donc.

Si vous définissez l'exponentielle comme la série entière de terme général ((t*ln(a))^n)/n! alors il est possible de démontrer les 3 propriétés ci-dessus (notamment la première propriété est triviale puisque tous les termes de la série sont nuls sauf le premier qui vaut 1, quand t = 0).

~sunmat~

 

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