Démonstration : 0.999999... = 1

En mathématiques, on peut dire que 0.999999... à l'infini tend vers 1.
Nous allons cependant voir que ce nombre ne fait pas que tendre vers 1.


Posons x = 0.999999...

Multiplions par 10.
On a 10x = 9.999999...

Or x = 0.999999...
Donc 10x = 9 + x

D'où 10x - x = 9
Et 9x = 9

On a donc x = 1

Or x = 0.999999...

Donc 1 = 0.999999...


Aberration mathématique ?
Un nombre tendant à l'infini vers un autre y serait donc en fait égal ?

 
 
~RoN~ Publié le : 01/05/2007

 

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C'est assez facile dans cette méthode aussi :

1=1
1=3x(1/3)
1=3x0.333...3
1=0.999...9

0.xxx...x représente l'infini !

~magister~ le 28-07-2008 à 00:00
 

Comme quoi, les maths c'est quelque chose de relatif... Ça dépend du point de vue. ^^

~TouZiS~ le 12-04-2009 à 14:12
 

Après, si on y mêle la représentation graphique de tout ces calculs dans des repères, à savoir les considérer comme des fonctions numériques, On ne constatera qu'en fait x=0,999999999 (à l'infini) ne sera jamais égal à 1 car n'atteignant jamais la valeur 1 et ayant comme asymptote la droite x=1.
On en vient à un raisonnement d'étude de limites de fonction numérique.

Ensuite, montrer à un lycéen x/x=1 il dira "oui" mais ça ne toquera pas de suite qu'il faut ajouter "pour tout x différent de 0" pour que cela soit valable dans la logique habituellement admise.
Car moi je n'ai jamais compris pourquoi il était "interdit" de diviser par zéro alors qu'il est tout aussi idiot de diviser 0 par un autre nombre mais qui est "permis" quand même.

Bref comme j'ai lu dans les autres commentaires, tout dépend finalement comment on décide de raisonner, en "mathématiques pure", cartésienne si j'ose dire, ou en transgressant légèrement la logique habituelle.

Vive le savoir relatif !

~Epileptics~ le 10-12-2009 à 22:25
 

Selon moi, il y a une autre erreur.
Selon une démonstration à un professeur de mathématiques (ça remonte à loin maintenant), il n'y a pas d'équivalence entre 9x=9, 9x différent de 9, car x= 0.99999 tendant vers 1.

Si tu calcules : 9x=9 fois 0.9999999 tendant vers 1, tu obtiens 8 virgule quelque chose, donc 9x ne peut être égal à 9.

Cependant, écrire x=09999"..." (on revient sur l'histoire des points de suspension erronés, on ne peut pas les utiliser en mathématiques, il me semble) et ensuite écrire x=1 est assez incorrect : x est soit égal à 0.999 tendant vers 1, ou x=1.

C'est mon propre avis (nous sommes sur un site de connaissances relatives non ?!).

J'espère avoir apporté quelque chose XD.

~Chimère~ le 22-08-2007 à 00:00
 

Je crois que 9,9999"..." - 0,99999"..." ne peut être égal à 9. Comment soustraire une infinité ? On ne peut que dire 9,999999"..." - ENV. 0.9999 = ENV. 9,0000999"...".
Eh oui, l'infini est, à mon sens, lié à approximation. Ainsi, dans ta démonstration, il faut mettre x = ENV. 0,99999"..."

~Bengalaas~ le 06-01-2008 à 00:00
 

Mais bien sûr qu'on peut soustraire Tout ce qui vient après la virgule, pourvu que les décimales soient périodiques et pareilles dans les deux termes de la soustraction ! Tout s'annule ainsi après la virgule !
Ce qu'on ne peut pas faire, c'est une addition, car on ne saurait pas où commencer l'addition !
On peut aussi multiplier ou diviser un nombre avec décimales périodiques, pourvu que ce soit par 10, 100, 1000, 10 000 etc. En déplaçant la virgule, à droite ou à gauche !

~charabia~ le 06-01-2008 à 00:00
 

Dites-moi si je me trompe, mais techniquement, si deux nombres sont différents, il est possible d'en intercaler un troisième entre les deux, n'est-ce pas ?

Essayez donc d'intercaler quelque chose entre ces deux-là...

~Aquaberry~ le 11-02-2009 à 20:29
 

Moi je dirais que ce n'est qu'une question de notation (au risque d'être un ignorant).

0,999... , selon la façon dont vous l'écrivez, n'est pas égal à 1. En rajoutant des 9 après la virgule, on n'arrivera jamais à 1. Même en en ajoutant à l'infini.

Ca doit être une question de limites, comme le dit bertrandpierre.

Je ne sais pas s'il existe une notation spécifique (désolé Varal7) pour les limites quand le nombre de décimales tend vers l'infini, j'écrirai donc juste "lim".

Donc lim 0,999... = 1 , et lim 1 = 1 , donc lim 0,999... = lim 1 , mais pas 0,999... = 1.

Pour la fonction exponentielle, quand x tend vers - l'infini, e^x tend vers 0, mais c'est toujours strictement supérieur à 0.

Je pense que c'est la même chose, mais avec des limites un peu différentes.

Je ne crois pas en 1 = 0,999... ni en 1/3 = 0,333... , sauf si par "0,999..." on entend sa limite.

~Nérée~ le 21-12-2009 à 20:47
 

Bonjour,

je pense me faire largement critiquer (en tout cas je l'espère, vu que j'en ai encore beaucoup à apprendre) ;

On m'a toujours dit qu'une démonstration n'est correcte que si on peut remonter du "résultat" à l'équation d'origine (ne lisez bien sûr pas la suite si c'est faux et envoyez la vraie loi svp).

Ainsi pour le " x = 0.9" ( avec un petit trait au-dessus : pour la notation, je vais écrire P.T.A.D pour l'abrégé , je ne sais pas comment s'appelle la notation, enseignez-moi) on aurait :

x=1= 0.9 P.T.A.D
donc x=1

Le problème se situe à mon avis ici : 1 a plusieurs écritures (9/9 mais aussi par exemple 52/52) donc prenons :

x = 52 / 52
on multipliera alors par 52 des 2 côtés ;

52 x = 52
on ajoute x des 2 côtés ;

soit comme x=0.9 P.T.A.D.

~system-dementor~ le 26-05-2010 à 17:23
 

Un exemple:
prenons x= 0.9999
10x= 9.999 (avec 3 9 après la virgule et non 4)
10x - x= 8.9991 et non 9
Il s'agit donc ici d'un abus de notation en l'infini.

ou encore
d'après le raisonnement donné:
x = 0.99999999...
alors 10X = 9 + (X- 0.000000...1)
d'où X != 1
X = 0.99999999999...

~Solene~ le 15-10-2011 à 15:41
 

c'est pas du tous une contradiction, ton raisonnement est juste ,mais le problème est en écriture

car en maths si on veux écrire 0,999... on écrit par exemple

lim(x--> +infinie) de(((10^x)-1)/(10^x))

cette limite égale a 1 , et il y a énormément de méthode pour la calculer , et ce que tu a écrit est l'une de ces méthodes .

~true_kanji~ le 23-10-2011 à 22:11
 

Je voulais juste dire que au cinquième paragraphe, quand il est marqué :
"D'où 10x - x = 9
Et 9x = 9"

9x n'est pas égal à 9 mais à 8,9999999999...
C'est juste histoire d'en taquiner certains


~Spes~ le 19-01-2014 à 20:45
 
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