Démonstration : 0.999999... = 1

En mathématiques, on peut dire que 0.999999... à l'infini tend vers 1.
Nous allons cependant voir que ce nombre ne fait pas que tendre vers 1.


Posons x = 0.999999...

Multiplions par 10.
On a 10x = 9.999999...

Or x = 0.999999...
Donc 10x = 9 + x

D'où 10x - x = 9
Et 9x = 9

On a donc x = 1

Or x = 0.999999...

Donc 1 = 0.999999...


Aberration mathématique ?
Un nombre tendant à l'infini vers un autre y serait donc en fait égal ?

 
 
~RoN~ Publié le : 01/05/2007

Il n'y a aucune aberration!

Quand on note 0,9999...
Que signifie les "..."?
Le fait qu'il y ait une infinité de 9 donc que tu le fasses tendre à l'infini!
C'est la même chose que dire 1/10000000000....=0
Les trois petits points sont une notation peu correcte qui implicite une limite
Mathématiquement ton x est égal à limite de n tend vers l'infini de la somme de 1 à n de 9 fois 10 puissance -n.
Car si tu prend un nombre fini de neufs, c'est-à-dire que tu ne le fais pas tendre il n'est jamais égal a 1.
0,99999999999999999999 n'est pas égal à 1.
0,999...=1 oui, mais ce n'est pas une aberration, ton article n'est pas correct désolé!
J espère qu'on comprendra ce que j'ai écrit.

~bertrandpierre~

L'erreur de raisonnement est la suivante:
Lorsque tu multiplies 0,99... par 10, tu décales la virgule d'un rang vers la droite, donc il y a un 9 en moins même s'il y en a une infinité; puis en soustrayant x=0,99... au 10x, tu n'obtiens pas 9 mais à une erreur infime le 9.
L'erreur infime c'est ton décalage.

~grogrominet~

C'est tout simple...

soit y = 0,999... à l'infini ;

10y = 0,999...à l'infini x 10 = 9,999...à l'infini.

9y = 10y - y
soit 9,999...à l'infini - 0,999..à l'infini = 9.

Si 9y = 9, alors
y = 9/9 = 1.

Pour grogrominet :

à mon avis, quand on multiplie 0,999 à l'infini par 10, on n'enlève pas un 9 après la virgule parce qu'on déplace la virgule vers la droite d'un chiffre!
Au contraire, on AUGMENTE ce qu'il y a à gauche de la virgule !!! Une multiplication, c'est pour augmenter, pas pour diminuer !!!

Ce qui te fait dire cela, c'est la visualisation de notre méthode écrite de calcul ! Toi, tu "vois" la virgule se déplacer vers la droite, tu en déduis donc qu'on enlève quelque chose après la virgule !

Donc, 0,999 à l'infini x 10, c'est bien 9,999 à l'infini, sans enlever un 9 après la virgule.

Et 9,999 à l'infini - 0,999 à l'infini, cela équivaut à 9, car tout ce qui est après la virgule est annulé par la soustraction.

~charabia~

J'aurais peut-être une explication avec les séries géométriques: par définition on a :
Somme (de n=0 à l'infini) de (a.q^n) = a/(1-q) avec |q|

~Angel~

On peut aussi dire : 1=3/3
1/3=0,33333...

donc 3/3 = 0,333333...*3

1=3/3 = 0,999999...

~rum~

Juste pour dire que l'écriture 0,999......... est fausse car en mathématiques, pour signifier que quelque chose se répète (une période), on souligne (en haut ou en bas) cette période (bon je sais par ordinateur ce n'est pas facile).
Donc 0,999..... s'écrirait : 0,9 (avec le 9 souligné);
et par exemple 7,234234234234.... s'écrirait : 7,234 (avec 234 souligné).
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~Giga9~

10 fois 0.9999999999(à l'infini)
est égale a 9.999999(à l'infini -1 si je puis me permettre de le dire ^^)
Ce n'est donc pas égal à 9+x mais 9+x-0.000000...0009
Le truc est là !
Oui c'est vrai qu'il faudrait souligner mais je ne sais pas comment on fait ^^ !

Et je préfère largement la démonstration de B. Werber :
Pour 1+1=3
Je cite : "(a+b)x(a-b)=a²+b² Bon ça c'est une identité remarquable rien à dire ^^
Donc (a+b)(a-b) a²-b²
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨=¨¨¨¨¨¨
a-b a-b

soit: a²-b²
a+b= ¨¨¨¨¨¨
a-b

posons a=b=1

1-1 x
1+1=¨¨¨¨ on a ¨¨=1
1-1 x

Donc 2=1 on ajoute un de chaque coté
3=1+1 " et voilà !
Ce que notre cher B. Werber a oublié c'est que nous ne pouvons pas mettre en dénominateur un nombre égal à zéro ! Car on ne peut se le représenter, mais si on va plus loin que nos règles, ce qui nous fait toujours plus avancer, on peut considéré que 1+1=3. Voilà c'était une "petite" parenthèse ^^
Excusez-moi pour le mauvais alignement j'ai fait de mon mieux !

Donc pour en revenir au fait, on peut aussi bien dire que 0.999...=1 ; comme 0.999... n'est pas égal à un, la seul chose qui change, c'est si tu acceptes de voir plus loin que des simples règles que l'on t'a enseigné !

~pers0nne13~

Il n'y a absolument aucune erreur, vous trouverez ça dans des magazines de maths très sérieux, et aussi et surtout dans la tête de profs tout aussi sérieux ! Si vous en avez encore, demandez.
C'est une question de limites. Ils vous expliqueront bien mieux que moi. Mais en gros, 0.99999999999..... correspond à ce que l'on écrit 1^- (ou 1 exposant -), c'est-à-dire presque 1 mais pas tout à fait.
De même, on note 1^+ (ou 1 exposant +) 1 + presque rien.
Et on a 1^+ou- -> 1 c'est-à-dire 1 exposant +ou- tend vers 1.

~Lenny~

L'erreur est que l'on ne peut définir X, sa valeur n'étant pas déterminée. On ne peut pas soustraire à un nombre défini X = 0.999... à l'infini car ce n'est pas un nombre défini. Il faudrait écrire X est "environ" égal à un pour être honnête.

~celte~

Il est en effet tout à fait vrai que 0,999999... = 1, et comme certains l'ont déjà dit, des profs de maths l'expliquent mieux...
Ainsi voici différentes preuves ! : http://http://faq.maths.free.fr/texte/faq11.html

~DaX~

Pour tous les ignorants qui répondent à tort et à travers...
Pour tous ceux qui disent qu'il y a une erreur....

Parler de "infini moins un" c'est comme diviser par zéro.
L'"infini" c'est pas un nombre.
La différence entre cette démonstration et celle de Bernard Weber, c'est que celle-là n'a aucune faille tandis que la sienne, si.

0.999... c'est la même chose que 0.9 avec un trait au dessus du 9.
Donc il n'y a pas de problème avec l'écriture.

~Varal7~

Si, on peut diviser par 0, j'ai vu ça en maths (sur les dérivées) :

x tend vers 5 :
(machintruc)/x-5 semble impossible pour x=5, mais en éliminant le facteur x-5 on a :

(machintruc)X(x-5)/(x-5)*1, donc on ne divise pas vraiment par 0, donc c'est juste.

~wwwerber.fan~