Addition de Gauss

Comment, grâce à Gauss, il nous est plus facile d'additionner beacoup de chiffres qui se suivent ...


Le petit Johann Carl Friedrich Gauss était au CP (environ 7 ans) quand il fut puni par son maître. Celui-ci lui donna pour punition une addition : Gauss devait faire la somme des nombres de 1 à 100

1 + 2 + 3 + .................. + 99 + 100

Mais Gauss eu l'idée de les écrire dans l'ordre décroissant :

100 + 99 + .................. + 3 + 2 + 1

Et le petit surdoué se rendit compte que si on additionnait les "opposés", on trouvait toujours 101

1 + 2 + 3 + ..................... + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ......................+ 2 + 1
_____________________________________

101 +101+10+.........................+101+101
=100x101

Mais il y en a 2 fois trop, ce qui nous donne 100x101x0.5

Nous avons donc grâce à Gauss, une manière beaucoup plus rapide pour effectuer ce genre d'opération.

En règle générale, avec n le nombre de terme de l'opération, on a :

1+2+3+.....+n = n(n+1)
______

2

 
 
~Kenobi30~ Publié le : 25/05/2007

 

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Et pourquoi on en a 2 fois trop? Je suis désolée mais je suis N.U.L.L.E en mathématiques (vous l'aurez remarqué ) et là je ne comprend tout simplement pas pourquoi tu dis ça... Le fait que je tourne au radar aujourd'hui doit jouer pour beaucoup aussi


~Melaquablue~

 

En fait il faut raisonner comme cela:
1 + 2 + 3 ...... + 100
100 + 99 + 98 ......+ 1
=
101+ 101 + 101 ......+ 101

Et si tu nommes X le résultat de 1+2+3....+100, tu as:
X + X = 100 x 101
donc X = (100 x 101)/2.


~Donitab~

 

En fait le petit gosse a raisonné par paires. C'est comme cela que mettre en face, une numérotation croissante ( 1 + 2 + 3 + ...=) et décroissante ( 100 + 99 + 98 + ... ) fait apparaître une série de N ( c'est-à-dire le nombre le plus grand) paires de nombres égales à N +1.

La somme de ces N paires, toutes égales à N+1, est donc :
n*(n+1).
Mais il faut se rappeller que pour arriver à l'observation des paires, on avait recopié la même série de chiffres mais à l'envers, c'est-à-dire que le résultat final est le double de ce que l'on recherche.
On divise par deux et le tour est joué.

Une autre façon de voir le n + 1 :

ici le N = 100; Ce 100 là, se retrouve être ajouté dans notre manip' à 1 ; ensuite 99 se retrouve avec 2, etc...
Il y a vases communicants entre les deux, et de la sorte on écrit 100 fois (c'est-à-dire N), le résultat de la première somme (c'est-à-dire 100 + 1, c'est-à-dire 101).
D'où le N+1, et le N au numérateur.

En espérant avoir éclairé ta lanterne jeune (?) fille.

FFM


~Freedom for Monocotyledones~

 

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