Insoluble, mais solution

A l'école, on a toujours appris que l'équation x² + 1 = 0 était insolvable. dans R, (sans compter les nombre complexes).
Mais...


Première étape

Si on considère cette équation x² + 1 = 0, on peut donc dire que celle-ci est équivalente :

(x + 1)² - 2x = 0
(x + 1)² = 2x

On peut donc en conclure que x >= 0 (car un carré est toujours positif).

Deuxième étape

De la même façon, x² + 1 = 0 équivaut à :
(x - 1)² + 2x =0
(x - 1)² = -2x

Et que donc x

 
 
~Styfore~ Publié le : 04/06/2007

"On peut regarder partout, et il n'y a aucune erreur, mais pourquoi cela ne fonctionne pas ?

Car tout simplement, on part d'un raisonnement faux dès le départ. "

Ce qui est faux, c'est bien de dire qu'il n'y a aucune erreur! ;)

Le raisonnement de départ n'est pas faux, puisque tu prends deux équations et tu joues avec leurs équivalences.

Ce qui est faux, c'est la conclusion :

"Dernièrement:

Si on trouve qu'un réel est à la fois supérieur ou égal à zéro, et inférieur ou égal à zéro, on en vient très vite à la conclusion que ce nombre est égal à zéro."
Certes...

Mais dans le cas présent, tu ne parles pas du même réel.
Tu résous deux équations totalement différentes qui ne font pas partie d'un système. Tu ne travailles donc pas avec le même réel.

CQFD

~Théonaute~

 

Bah si dans la première et deuxième partie il parle du même réel (de celui qui est solution de x²+1=0); tu fais tout bêtement une démonstration par l'absurde:

tu supposes qu'il existe un réel, solution de cette équation, et tu arrives à une aberration, ce qui implique que l'hypothèse du début (il existe un réel, solution de x²+1=0) est fausse;
bonne démonstration, mais longue.

Il suffit de dire que pour tout réel, x²+& est strictement positif et -1 strictement négatif, et ne peuvent donc être égaux (dans R).

~bertrandpierre~

 

Complètement faux...

Il a tenté de résoudre le système :
( x²+1=0 ET x²-1=0 )
Et non la seule équation x²+1=0 ...

Ce sont quand même deux choses différentes, résoudre un système, et résoudre une seule équation...

La preuve :

Résolution du système :
x+2=4
x-5=3

La première équation nous donne x=2 et la seconde x=8, on peut alors en déduire que le système n'a pas de solution réelle.

Par contre, si on résout séparément chaque équation, on a :
x=2 pour la première,
x=8 pour la seconde.

CQFD

~Théonaute~

 

~Théonaute~ : Si, c'est la même équation, c'est moi-même qui me suis trompé pour la deuxième en écrivant : x² - 1 =0.
Mais c'est bien toujours x² + 1 =0 que je prends :

1ère :
(x + 1)² - 2x = 0
x² + 2x + 1 - 2x = x² + 1


2ème :
(x - 1)² + 2x = 0
x² - 2x + 1 + 2x = x² + 1

Je vais demander la modification de l'article.
Merci de me l'avoir fait remarquer... ^^

~Styfore~

 

Dans ce cas, cela revient à écrire la même équation, en posant x2= - x1, où x1 est le x de la première étape, et x2 est le x de la deuxième étape.

Auquel cas, rien n'a été démontré...

En effet :

Première étape :
x²+1 =0 (x+1)² = 2x

Deuxième étape :
y = -x (par rapport à précédemment)
donc x²+1 = 0 => (-y)²+1 = 0 => y²+1=0
d'où y²+1 = (y-1)² + 2y = 0
on retrouve bien (-x-1)² - 2x =0
soit (x+1)² = 2x

Donc ta deuxième étape consiste juste à réécrire la première avec une autre inconnue : y = -x.

Tu n'as donc pas trouvé de racine à x²+1=0 dans IR.

~Théonaute~

 

Désolé, il n'utilise qu'une seule et unique variable car on a l'égalité :

(x+1)²-2x = x²+1 = (x-1)²+2x

donc :

x²+1=0 (x+1)²-2x=0 (x-1)²+2x=0 (E).

Donc si x est solution de l'unique équation x²+1=0, alors on a d'après l'équivalence (E) : x est solution de
2x=(x+1)² et 2x = - (x-1)² (il doit vérifier ces 2 conditions pour la simple raison qu'elles sont équivalentes,donc pareilles).

Donc x>= 0 et x=

~bertrandpierre~

 

"2x=(x+1)² et 2x = - (x-1)² (il doit vérifier ces 2 conditions pour la simple raison qu'elles sont équivalentes,donc pareilles)".

Faux !

x²+1 = 0 n'est pas équivalente aux deux expressions en même temps !

On ne peut pas dire que x doit vérifier la première ET la deuxième. Mais bien que x doit vérifier L'UNE OU L'AUTRE.

L'erreur de raisonnement est bien de vouloir se servir des deux expressions dans la "démonstration", alors que x ne peut pas vérifier les deux en même temps.


Sinon, contactez une revue scientifique et publiez cet article dedans, vous venez de révolutioner les maths et tout sera remis en question...

~Théonaute~

 

~Théonaute~ : c'est la même expression dans mes deux équations, exactement la même, mais mise sous une autre forme, mais elles sont équivalentes car toute deux égales, et égales à x² + 1 = 0.

Mais si tu lis tout, à la fin il est marqué où est l'erreur, pourquoi cela nous fait 1 = 0 à la fin. Car on part d'un raisonnement faux dès le départ.
Alors ne dis pas qu'on a révolutionné les maths, j'ai juste mis en avant une erreur de raisonnement.

Mais toi tu n'as pas compris cela, et tu as cherché une autre erreur, qui elle est fausse!

Quand tu lis, lis tout et bien, au lieu de chercher compliqué.

~Styfore~

 

Tout d'abord :

~Théonaute~ :"x ne peut pas vérifier les deux en même temps." FAUX car toutes les solutions complexes de l'équation x²+1=0 VERIFIE les 2.
Essaie avec i, tu verras qu'il vérifie les 2, et pas qu'une seule (je l'ai montré au dessus).


De plus, son raisonnement est totalement bon, cela s'appelle un raisonnement par l'absurde. Il part d'un argument A ,arrive à 1; contradiction, ce qui prouve que A est faux.

Ici A est x²+1=0 a une solution dans R.


De plus :

~Théonaute~ :" '2x=(x+1)² et 2x = - (x-1)² (il doit vérifier ces 2 conditions pour la simple raison qu'elles sont équivalentes,donc pareilles)'. Faux !"

Si tu ne me crois pas, voici la preuve:

1/ supposons que 2x = (x+1)²
Alors 2x = x²+2x+1
d'où, en simplifiant à gauche et à droite par 2x :
x²+1=0.

Je viens de montrer :
2x = (x+1)² => x²+1=0.


2/ montrons : x²+1=0 => 2x = (x+1)²
Supposons : x²+1=0;

en additionnant par 2x à gauche et à droite, on a :
x²+2x+1=2x

d'où : 2x = (x+1)².
Je viens de montrer x²+1=0 => 2x = (x+1)².


3/ Montrons maintenant que : x²+1=0 => 2x = - (x-1)²
Supposons : x²+1=0;

alors -(x²+1)=0
d'où : -x²-1=0.

En additionnant par 2x à gauche et à droite on a :

• x²+2x-1=2x

ou encore : -(x²-2x+1)=2x
d'où : 2x = -(x-1)².
Je viens de montrer x²+1=0 => 2x = - (x-1)².

4/ Montrons : 2x = - (x-1)²=> x²+1 =0
Supposons : 2x = - (x-1)²
Alors : 2x = -x²+2x-1.

en simplifiant par 2x on a :

• x²-1=0

d'ou x²+1=0.


5/ 1/ et 2/ => ( 2x = (x+1)² x²+1=0 )
3/ et 4/ => ( x²+1=0 2x = - (x-1)² )
D'où : 2x = (x+1)² x²+1=0 2x = - (x-1)²
donc : 2x = (x+1)² 2x = - (x-1)² CQFD.


Voila j'ai démontré mes arguments.


~Théonaute~ : "Sinon, contactez une revue scientifique et publiez cet article dedans, vous venez de révolutionner les maths et tout sera remis en question..."
On évite d'être grossier s'il te plaît.

~bertrandpierre~

 

Le premier à être grossier ici c'est toi, vous êtes là pour discuter, par pour vous insulter.
Merci donc d'utiliser un vocabulaire correct, et édite ta précision précédente afin de la rendre moins agressive s'il te plaît ; ).

Afin de refroidir un peu le débat, ce serait sympa que vous glaniez sur le net des informations sur les nombres complexes.
Revenez ensuite pour débattre avec la tête froide.
Quelqu'un a sûrement tort, et ce n'est pas en haussant le ton que vous parviendrez à vous comprendre.

Cordialement,

~Telimektar~

 

On ne peut pas parler ici des nombres complexes puisque l'article en question tente de faire la démonstration dans IR...
J'en aurais bien évidemment parlé sinon...

~Théonaute~

 

Oui mais la question posée est celle-là même qui a donné naissance aux complexes.

~Telimektar~

 

J'ai une petite question; quand il est écrit:

"Si on trouve qu'un réel est à la fois supérieur ou égal à zéro, et inférieur ou égal à zéro, on en vient très vite à la conclusion que ce nombre est égal à zéro";

En fait, quand ce genre de choses arrive, est-ce que ce n'est pas une forme indéterminée?
Parce que dans le fond, dans les dérivés, ou les intégrales, ce genre de choses arrive souvent, et on conclut que " la limite n'existe pas " ou que le résultat est inexistant.

De plus, la forme première de la solution est inexistante (à ma connaissance, un carré n'égalera jamais un négatif).


Un exemple: sin X, dans les séries, on obtient 2 résultats différents: -1 et 1. On ne conclut pas pour autant que la réponse est l'un ou l'autre...

Bon, désolée si j'ai fait une erreur moi-même, je ne suis pas mathématicienne, j'ai seulement quelque notions...

~Dodites~

 

"Si on trouve qu'un réel est à la fois supérieur ou égal à zéro, et inférieur ou égal à zéro, on en vient très vite à la conclusion que ce nombre est égal à zéro."

Oui, car on a : x>=0 et x=x>=0.

x est compris (au sens large) entre 0 et 0, donc x = 0.

On aurait une indétermination si :
x>0 et x

~bertrandpierre~

 

En fait, le raisonnement est correct et prouve ceci :
Si x est solution de x² + 1 = 0, Alors, x>=0 et x inférieur ou égal à 0, donc x = 0.

Malheureusement, ce n'est pas une équivalence, et on vérifie facilement que 0² + 1 = 1 et non 0, donc 0 n'est pas solution non plus : il n'y a pas de solution réelle à cette équation.

Le raisonnement n'est pas valable avec les nombres complexes car il n'y a pas de relation d'ordre dans les complexes : on ne peut pas dire qu'un complexe est supérieur ou inférieur à un autre.

Ceci permet qu'il y ait justement une solution complexe à cette équation (en fait deux, "i" et "-i").

P.S. Je SUIS prof de maths.

~adrieno~