Le Brouillon

Le cahier de brouillon -> Grandeur de l'infini.

Par définition l'infini n'a pas de valeur, il est plus grand que tout.
Je sais que la notion d'infini est abstraite et difficile à concevoir mais pour moi il y aurait des infinis plus grand ou plus petits que d'autres.

Un exemple (presque) concret : la droite et la demi-droite.
Par définition la droite a une longueur infinie, aucun point ne la limite.
Mais la demi-droite a un de ses côtés délimité par un point et l'autre non donc un de ses côtés est infini.
Donc les deux droites ont la même longueur (l'infini).
Pourtant la demi-droite n'arrivera jamais à atteindre la longueur de la droite puisqu'un des ses côtés est délimité alors que aucun des côtés de la droite ne l'est.

Voila l'exemple de la droite et de la demi-droite m'a toujours troublé car pour moi la demi-droite, bien qu'elle soit de longueur infinie, est plus petite que la droite (même deux fois plus petite je dirais.)

Sinon quand on a infini+2, alors ce chiffre est plus grand que l'infini tout seul car sinon il ne servirait à rien de parquer le +2 non ?


Voilà, j'espère que je ne me suis pas trop embrouillé dans mes réflexions et que vous réagirez !

~Giga9~ le 06-07-2008 à 10:43
 

La comparaison de la droite et de la demi-droite est bien choisie.
Mais même si seulement une partie de la droite est infinie, alors, l'ensemble est infini, vu que l'infini est infini.
Donc, je pense qu'une vraie droite et qu'une vraie demi-droite font la même longueur ; c'est-à-dire l'infini.

En tout cas ta réflexion est sympa.

L'infini+2 c'est toujours l'infini, ça ne change rien...

~Austin~ le 07-07-2008 à 19:09
 

Pour moi, l'infini a une grandeur, car dans le mot infini, il en a deux... Il y a in, qui signifit généralement une négation, comme l'indécision, indomptable, etc... et il est aussi formé du mot fini, donc on pourrait traduire ce mot de deux façons, qui n'a pas de fin, ou encore, qui n'est pas terminé...
Je ne sais pas si vous voyez ma logique...

~Amadeo~ le 07-07-2008 à 19:49
 

Ton raisonnement, giga9, est juste si on prend infini comme un nombre. Alors, x+2>x même si x = inf. Sauf que inf. n'est pas un nombre, c'est une notation, un symbole mathématique, et n'a pas de valeur propre.

En optique, par exemple, inf. signifie une grande valeur, de l'ordre de plusieurs dizaines de cm. Pas plus. L'infini dépend vraiment de la discipline. En astronomie, l'inf. pourrait être égal à la taille de l'Univers, pourtant fini (environ 50 milliards d'années-lumière (4,73×1026m)).

Donc, l'inf n'étant pas un nombre, on ne peut pas faire d'opérations, donc inf/2 impossible (problème de la 1/2 droite) et inf + 3 impossible. Voilà !

Vous remarquerez enfin que j'ai réduit dans mon message la taille du mot "infini" (inf = 3 lettres) à moins que "rien" (= 4 lettres)...

Par pur sens de contradiction, évidemment.

~Lenny~ le 07-07-2008 à 21:35
 

Merci pour vos explications, mais bon, les droites et demi-droites m'intrigueront toujours ^^

~Giga9~ le 07-07-2008 à 22:45
 

Comme le dit très justement Lenny, l'infini ne peut être considéré comme une valeur, par conséquent il est illicite de faire une opération dessus.

Pour ton problème de demi-droite, qui est finalement très abstrait aussi, on peut y entrevoir une explication dans la théorie sur l'univers d'Einstein. En effet, selon lui, l'univers n'est pas infini dans toutes les directions mais serait plutôt sphérique. Nous sommes dans l'abstraction pure et j'utilise donc des termes pour pouvoir se le représenter mentalement. C'est comme si l'univers étaient un gigantesque ballon en expansion.

Or la géométrie non-euclidienne nous démontre bien que le concept de "droite" n'est valable que dans des référentiels très petits (à l'échelle terrienne c'est-à-dire de l'ordre du km). Si nous considérons des distances de l'ordre de l'année-lumière, toutes les "droites" sont courbes. Toutes les parallèles finissent à un endroit ou un autre par se couper.

Imagine maintenant ta droite et ta demi-droite que tu fais partir à l'infini, l'une des deux côtés, l'autre d'un seul. Etant donné que leurs trajets seront à toutes les deux circulaires, aucune ne sera plus grande que l'autre.
Pour cela il faut appréhender le fait que lorsqu'on arrive dans des domaines infinis, tout est courbe et cyclique. Donc dans cette bulle qu'est l'univers, si je marche à l'infini droit devant moi, je reviendrai un jour à mon point de départ... Derrière ces abstractions physiques se cachent des messages philosophiques.

~TousVersL'Eveil~ le 13-08-2008 à 17:12
 

Suivant ce raisonnement à fond, j'en déduis qu'une droite ne serait alors finalement qu'un... cercle.

~feed_your_head~ le 01-10-2008 à 22:37
 

La droite et la demi droite n'existent pas dans la réalité.
Elles existent dans la géométrie euclidienne par exemple. Et dans la géométrie euclidienne, la grandeur est définie d'une autre façon particulière. Dans cette géométrie, la demi droite et la droite on la même grandeur, l'infini.
Le fait qu'elles aient la même grandeur ne découle pas de la réalité mais des choix faits pour la définition des grandeurs et de leurs rapports dans la géométrie considérée.

Tu ne peux pas changer cet état de fait. Mais tu peux créer ta propre géométrie dans laquelle la demi droite a la moitié de la grandeur de la droite. Peut-être que cette géométrie a déjà été imaginée par des mathématiciens et qu'elle permet des propriétés utiles.

~Sam~ le 02-10-2008 à 11:22
 

Évidement, on peut considérer qu'à partir du moment où un élément (ici la demie-droite) a une composante infinie, il est plus "grand" que "tout".
Mais on peut aussi considérer ce que j'appelle le niveau de convergence (de divergence ici).
Dans le cas de la demie-droite il vaut 1, pour une droite il vaut 2.
Donc du côté des taux de divergence tu as effectivement raison, Giga9, la droite vaut 2 fois la demie-droite.

~Vambok~ le 17-12-2008 à 20:12
 

Une façon de montrer que l'infini/2 est l'infini, en reprenant l'image de la droite et de la demie-droite, est la suivante : on fait "glisser" la demie-droite du côté où elle est bornée ; et comme de l'autre côté elle est "infinie", on peux faire cela longtemps, très longtemps... En fait, on peut la glisser infiniment de façon à ce que de ce côté, elle n'est pas finie (puisqu'on vient de "pousser son bord" aussi loin qu'on veut). De la même manière de l'autre côté, par définition de la demie-droite, elle est aussi infinie.
Donc on peut dire que la demie-droite (qu'on peut finalement "mettre en face" d'une droite) est de longueur infinie (on dit qu'elle est équipotent à une droite).

C'est très étrange mais c'est ainsi. D'ailleurs, comme on le fait remarquer, l'infini n'est pas un nombre mais une notation... ce qui est vrai, mais pas complètement. On peut mathématiquement construire une extension des nombres réels (notés R) appelée R "barre" (un R surmonté d'une barre) composé de R et de deux objets, +inf et -inf, et des opérations suivantes : quel que soit le nombre réel x, +inf + x = +inf et -inf + x = -inf... D'où la résolution du problème +inf + 2. De la même façon d'autres opérations sont définies, comme quel que soit le nombre x, +inf/x = +inf. Ce qui est vrai, mais attention, avec x différent de 0. Enfin bref, ici apparaît le fameux +inf/2, qui fait donc bien +inf.

Une autre façon de voir les choses est l'histoire de l'hôtel de l'Infini de Hilbert, qui a montré qu'on ne résonne pas naturellement sur l'infini. Voici le paradoxe :

"Un nouvel hôtel vient d'ouvrir. Il est extraordinaire, cet hôtel de l'infini : outre le fait que l'on a mis une infinité d'années à le terminer, qu'il tient une infinité de place, etc.
(un effort d'imagination est demandé ici)
Il peut accueillir, et ce grâce à son infinité de chambres, une infinité de clients. Or, pour l'inauguration, le responsable est au plus mal : l'hôtel a eu tellement de succès, qu'il est ce soir... complet !
Et ce qui devait arriver arriva: un voyageur fatigué arrive à l'hôtel pour demander une chambre. Horreur pour le directeur de l'hôtel, qui se plaît à rappeler qu'il y a ici une chambre pour tous ! Mais c'est un malin : il demande à chaque client de se décaler d'une chambre. L'occupant de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la 2 dans la trois, enfin bref, la chambre x est projetée sur x+1. Evidemment, il n'y a aucun problème puisqu'il a une infinité de chambre. La chambre 1 est donc vide, et le voyageur peut passer une bonne nuit dans l'hôtel".

Ici on voit que +inf + 1 = +inf (cela ressemble étrangement à la demie-droite). Plus généralement, on aurait pu projeter x sur x+h, avec h entier quelconque pour trouver que +inf + h = +inf.
Le paradoxe peut être continué...

"Un car de touristes (sûrement américains, ce sont toujours eux qui se font remarquer) ; ce car transporte une infinité de touristes, qui veulent tous passer une nuit dans l'hôtel de l'infini. Cette fois-ci le directeur est au plus mal... Parce que comment demander au premier client... de prendre la chambre "infiniment suivante" de celle qu'il occupe. Heureusement encore une fois, il utilise une astuce. Il demande simplement à chaque client de regarder leur numéro de chambre, de le multiplier par deux et de partir vers la chambre portant le résultat de l'opération comme numéro. Le premier va chambre 2, le second chambre 4, le troisième chambre 6... x est projeté sur 2x. Il reste alors les chambres aux numéros impaires, qui sont évidement... une infinité, dans laquelle on peut caser les touristes américains. Tout le monde est alors heureux, sauf les premiers clients qui commencent à trouver fort dérangeants tous ces changements de chambre".

Ici on démontre que +inf + +inf = 2*+inf = +inf, un résultat encore à l'encontre de l'intuition. On peut bien sûr réutiliser l'astuce du directeur le nombre de fois qu'il faut pour caser n*+inf, et on a généralement n*+inf = +inf.

Jusqu'où ceci fonctionne... Eh bien rapidement, on s'arrête. Car Giga9 avait complètement raison sur un point : il existe différents infinis ! En effet, essayez de caser une infinité de bus contenant une infinité de clients potentiels (à savoir inf*inf, ou inf^2) ! Eh bien cela ne marche pas. Autrement dit, l'infini du second ordre, inf^2, n'est pas équipotent à l'infini du premier ordre !

Pour les matheux, on dit qu'il y a d'abord une infinité dénombrable (comme le nombre d'entiers), et une infinité indénombrable (comme le nombre de réels). Ainsi N n'est pas équipotent à R, mais R équipotent aux parties de N.

~J2b~ le 08-01-2009 à 23:28
 

Une question à ce propos m'a toujours hanté l'esprit:

Est ce que l'infini existe juste parce que nous sommes trop petit pour appréhender sa vraie grandeur?

Peut être que l'infini peut trouver des bornes, mais que c'est simplement notre esprit humain qui n'arrive plus à sortir de son échelle par abstraction et n'arrive ainsi plus à concevoir la notion d'infini (et personne n'y arrive facilement, voir même personne n'y arrive vraiment). Il a néanmoins mis ce mot sur ce qu'il ne pouvait saisir, infini, avec, comme dit, "in" pour la négation, et "fini", parce que l'homme a besoin de désigner tout, même ce qu'il ne saisi pas, pour se sentir moins petit et pouvoir utiliser alors la pensée, et maintenant, nous nous bornons tous à expliquer pourquoi c'est in-finissable. Peut être qu'en changeant de terme, la notion serait déjà beaucoup plus compréhensible...
Il ne faut pas oublier que l'humain a des limites. Nous sommes allé très loin dans l'abstraction et nous sommes énormément sorti de notre système de référence, mais il est à mon goût plus simple d'imaginer que l'univers n'a pas d'exception à sa règle d'être "cadrable", et, simplement, nous ne pouvons peut être pas accéder à ce cadre...

~Kikouk~ le 09-01-2009 à 14:31
 
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