Nombre d'or

Mystique et mathématique.


Le nombre d'or est le seul nombre qui constitue une solution à l'équation x=(x+1)/x [ x²-x-1=0], c'est à dire que c'est le seul nombre auquel, si on lui ajoute 1 et que l'on divise la somme obtenue par ce nombre, on retrouve le nombre de départ.
Une approximation de ce nombre est 1,618 034. Sa valeur exacte est 1+racine carrée de 5 le tout divisé par 2. On l'appelle Phi (lettre grecque).
Ce nombre est exceptionnel en plusieurs points...

1) Il est irrationnel et trancendental comme Pi (plus simplement avec un nombre infini de décimales)
2) Il est pour notre cerveau le rapport de l'équilibre visuel de tout rectangle...La majorité des personnes le trace intuitivement.
3) Il est retrouvé de ce fait dans nombre de constructions mythiques...du Parthénon aux Pyramides.
4) Il est retrouvé en musique dans l'intervalle des notes d'une gamme
5) Il est d'une grande utilité en architecture...Le Corbusier s'en est servi pour construire son Modulor, qui définit les équilibres visuels de toute construction artistique.
6) Il a des propriétés mathématiques saisissantes simplistes et peu abordables à la fois.
7) De par le fait qu'il est utilisé pour construire des spirales il est relié à Pi !
8) C'est à peu près le rapport entre la position de votre nombril et votre taille
9) Dans le règne végétal l'agencement des rameaux est des feuilles suit une suite dite de Fibonacci, reliée à Phi.

Cet arrangement particulier maximise la quantité de lumière et minimise l'ombre portée des parties supérieures sur les inférieures....

 
 
~Freedom for Monocotyledones~ Publié le : 25/11/2005

Sinon si tu veux réajuster ton article, phi est algébrique (et non transcendant).

~bertrandpierre~

Phi est bien algébrique, au temps pour moi...

~Freedom for Monocotyledones~

Je me permet de rectifier: phi est rationnel.

~captain-pierounet~

Désolé ~captain-pierounet~ mais tu as faux, phi est irrationnel, voici la démonstration mathématique:
Par l'absurde supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire phi=A/B avec A, B entiers strictement positif et surtout premiers entre eux.
Alors
1+ racine (5)=2A/B
Donc
racine (5)=(2A-1)/B
Donc
5B^2= (2A-1)^2 ou ^2 signifie au carré
On pose C=(2A-1)
On a alors
5 B^2 = C^2 on appellera cette équation E
Donc C^2 est un multiple de 5 et C aussi
Alors C= 5r
et C^2 = 25 r^2
On remet cette égalité dans E ce qui fait
5 B^2 = 25 r^2
ce qui implique
B^2 = 5 r^2 donc B multiple de 5
A et B sont donc tous les deux des multiples de 5 ils ne sont pas premiers entre eux et alors phi n'est pas rationnel
CQFD
J'espère que la démonstration a été comprise par ceux qui en sont capable sinon je demande aux autres de croire ~Freedom for Monocotyledones~

~bertrandpierre~

Tu te trompes, tu dis que Phi est la seule solution de l'équation x² = x + 1, alors qu'il y en a en fait deux.
Phi est en fait la solution positive.
L'autre solution est d'ailleurs égale à : - 1/D (si on considère que D = Phi).

~Styfore~

Ce nombre est fantastique. A partir de phi, on peut construire rectangle d'or, triangle d'or, pentagone d'or, spirale d'or...

On peut trouver son carré en lui ajoutant simplement 1, ainsi phi² = phi + 1 ... Pouvez vérifier.

Ce nombre est étroitement lié à la suite de Fibonacci, pour les puissances par exemple:

phi² = phi + 1
phi^3 = phi² + phi = 2phi + 1
phi^4 = 2phi² + phi = 2phi + 2 + phi
phi^5 = 3phi² + 2phi = 3phi + 3 + 2phi = 5phi + 3
phi^6 = (...) = 8phi + 5
phi^7 = (...) = 13phi + 8
Regarder à la fin des calculs, consécutivement, vous avez la suite de Fibonacci.

Autre rapport Phi/Fibonacci :

A partir de l'équation x²-x-1=0 on peut obtenir x=1+(1/x).

En reportant l'expression de x obtenue à la place du x au dénominateur, on obtient le développement en fraction continue du nombre d'or. On le note couramment [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ... ] sous sa forme normalisée (les dénominateurs ne doivent être que des 1);

1+(1/1) = 2/1
1+(1/(1+(1/1) = 3/2
1+(1/(1+(1/(1+(1/1) = 5/3
1+(1/(1+(1/(1+(1/(1+(1/1) = 8/5
1+(1/(1+(1/(1+(1/(1+(1/(1+(1/1) = 13/8
etc.
On retrouve la fameuse suite de Fibonacci.

Moult choses nous permettent d'arriver à ce fameux nombre, et m'est avis que l'on ne les a pas encore toutes découvertes...

~Bengalaas~

Pour bertrandpierre : racine(5)=(2A-B)/B et non racine(5)=(2A-1)/B!!!

Je me permets de proposer ceci :

si phi est rationnel alors phi=A/B
donc racine(5)=(2A/B)-1.

Or 1 et 2A/B sont rationnels, donc racine(5) est rationnel, ce qui est absurde.
Donc phi est irrationnel.

~robin33~