Démonstration : 0.999999... = 1

En mathématiques, on peut dire que 0.999999... à l'infini tend vers 1.
Nous allons cependant voir que ce nombre ne fait pas que tendre vers 1.


Posons x = 0.999999...

Multiplions par 10.
On a 10x = 9.999999...

Or x = 0.999999...
Donc 10x = 9 + x

D'où 10x - x = 9
Et 9x = 9

On a donc x = 1

Or x = 0.999999...

Donc 1 = 0.999999...


Aberration mathématique ?
Un nombre tendant à l'infini vers un autre y serait donc en fait égal ?

 
 
~RoN~ Publié le : 01/05/2007

 

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Joli!!!! Voilà de quoi en embêter plus d'un.



~nouvo visionnaire~ le 01-05-2007 à 00:00
 

Bertrandpierre : désolée mais je ne comprend pas ce que tu écris là :

"Quand on note 0,9999...
Que signifie les "..."??
le fait qu'il y ai une infinité de 9 donc que tu le fasses tendre à l'infini!!"

Peux-tu s'il te plaît développer ou expliquer ce que tu veux dire?

~Melaquablue~ le 01-05-2007 à 00:00
 

Très joli...

Enfin très joli, mais évidement tout à fait incorrect : il est interdit de multiplier un nombre dont les décimales tendent vers l'infini. 10x n'existe donc tout simplement pas.

Mais très joli quand même ! Cela me fait penser à la preuve de Bernard comme quoi 1+1=3. C'était aussi très joli... Mais tout à fait incorrect !

~Isator~ le 01-05-2007 à 00:00
 

Bon, déjà je commencerais à dire : desolé isator t'as tort lol,

"Très joli mais évidemment tout à fait incorrect : il est interdit de multiplier un nombre dont les décimales tendent vers l'infini."
Si, on a le droit, à une unique condition : que ce nombre converge c'est à dire qu'il tend vers un nombre fini et là, c'est le cas!!

Et toi Ron, tu dis :
"Un nombre tendant à l'infini vers un autre serait donc en fait égal ?"
J'expliquais plus haut que quand tu notais 0,99... tu l'avais déja fait tendre à l'infini, la notation des trois petits points est incorrecte.
Le nombre qui tend vers 1 est 0,9999999 ; en fait 0,999... est 1, c'est la même chose.
0,9999999 tend vers 0,99...
Comprends-tu à peu près la nuance ?

0,999...=1
Si on veut vraiment grossir ce que tu dis, tu dis :
1 tend vers 1 (ce qui n'est pas faux)
Et tu en conclus tout nombre x
si x tend vers y alors x=y (ce qui est faux)

1 tend vers 1 c'est normal ce n'est pas une aberration.
Une aberration est 0,999999999=1

J'espère t'avoir un peu éclairé !

~bertrandpierre~ le 04-05-2007 à 00:00
 

C'est sûr, le problème principal vient de l'écriture avec les "..."
En somme, cet article est surtout là pour démontrer que les mathématiques peuvent être facilement détournées si on ne les manipule pas correctement...

~RoN~ le 04-05-2007 à 00:00
 

Voilà, c'est cela que je voulais dire ! lol
Voici une autre démonstration plus rapide :
on sait que
1/3=0,3333...
En multipliant par 3 à gauche et à droite on a
1=0,999999.... Et voilà !
Bon article sinon !

~bertrandpierre~ le 06-05-2007 à 00:00
 

0,9 périodique, cela veut dire 0,9999999999999 à l'infini.

~charabia~ le 02-09-2007 à 00:00
 

Bah moi je dis qu'à un poil près, 0.99999999999999999999999999999999999999999 (et autant de 9 que tu veux) et 1, c'est pareil !
C'est pas un peu la définition de l'infini ? D'ailleurs, trève de plaisanteries, de dire que 0.999999 (et autant de 9 que tu veux) est infini, c'est mathématiquement impossible, puisqu'il est théoriquement < à 1, donc fini, donc pas besoin d'en c**** une pendule.
Un élève de 1°S qui se défoule après un cours de maths.

Lenny

~Lenny~ le 07-09-2007 à 00:00
 

Oui, bon article, mais comme démontré, incorrect. ^^
Et Lenny, non, ce n'est pas pareil...

Quand tu veux faire des calculs très très précis (que tu ne fais peut-être pas actuellement); un chiffre comme ça est utile.
Un peu comme Pi, en quelques sorte...
Les décimales que l'on trouve ne sont pas inutiles... Que ce soit d'un point de vue astronomique, ou autre...
Ou même un chiffre pour calculer le poids d'atomes, de molécules, etc..
Mais c'est sûr que pour calculer un objet futile qu'on voit quotidiennement, 10.000 décimales ne sont pas utiles. ^^

Tout est relatif.



~Thanatos~ le 07-09-2007 à 00:00
 

Contrairement à ce que vous avez écrit, cette démonstration (et donc l'égalité) est totalement vraie.
Il existe plusieurs manières de le prouver, dont la plus facile a été citée :
1/3 = 0.33333333...
1/3 * 3 = 1
0.333333333... * 3 = 0.99999999999...

Quant au fait "de ne pas pouvoir multiplier des nombres infinis", c'est totalement faux. Tout le monde sait calculer le périmètre d'un cercle : P= 2 * PI * R ...

Je me suis inscrit juste pour réparer cette petite injustice.
Mais à partir de maintenant, je vais rester...

~Gscorpio~ le 11-09-2007 à 00:00
 

On peut en effet multiplier des nombres ayant des chiffres allant à l'infini après la virgule, mais seulement par 10, 100, 1000 etc.

Par exemple, 0,1234567... x 10 = 1,234567... etc.

On ne peut cependant pas les additionner, car où commencer l'addition? On peut cependant en soustraire un de l'autre, pour peu que tout ce qui se trouve après la virgule soit identique dans les deux termes, par exemple :

3,5555555 à l'infini - 2,5555555 à l'infini, ce qui donnera 1.

Pour les diviser, c'est pareil que pour les multiplier... Par 10, 100, 1000 etc, c'est possible, par exemple : 1,234567... : 10 = 0,1234567...

Gscorpio, tu ne démontres pas que 0,999 à l'infini est égal à 1, tu ne fais que démontrer que 1/3 x 3 est égal à 1 !

Le vrai problème, c'est de démontrer que 0,999 à l'infini est EGAL à 1 !!!

Regarde :

y = 0,999 à l'infini

10y = 0,999 à l'infini x 10 = 9,999 à l'infini;

9y = 10y - y
soit : 9,999 à l'infini - 0,999 à l'infini = 9.

Si 9y = 9,
alors y = 9/9,
y = 1.

Regarde au début du problème la valeur qu'avait y...

Et Lenny, ne t'énerve pas, voyons... Tu es en 1ère S, tu as encore tant de choses à apprendre... Bisous.

~charabia~ le 13-09-2007 à 00:00
 

Charabia, et bien oui, justement... Ce que tu viens d'écrire, c'est la démonstration rigoureuse que 0.9999 A l'INFINI = 1.

Je ne sais pas ce que vous avez du mal à appréhender. Je sais que ça va à l'encontre de tout ce qu'on nous apprend ^^.

Pourtant, tout le monde s'accorde à dire que 1/3 = 0.333333 à l'infini. C'est tout aussi "faux" que 1 = 0.9999 à l'infini.

Le truc, c'est que tant qu'on continue à mettre des 9 derrière, l'égalité est vraie. Si on s'arrête, c'est faux.

Est-ce plus clair? Car je ne vois pas que dire de plus pour vous en convaincre. Peut-être qu'une recherche Google...

~Gscorpio~ le 16-09-2007 à 00:00
 

Gscorpio, tu as raison, tu es d'ailleurs dans une dimension philosophique, lorsque tu dis cela... Quand on dit que quelque chose va à l'infini, c'est que justement, cela ne s'arrêtera jamais...
Donc 0,999 à l'infiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, c'est égal à 1 !

Quant à ta note concernant le calcul de la circonférence du cercle, elle mérite une petite remarque :

tel que nous calculons cette circonférence, c'est à dire 2r x pi (pi valant 3,14 par convention internationale) nous ne la calculons pas avec exactitude, mais c'est le seul moyen que nous avons de la calculer...
Nous nous arrêtons à 3,14, qui est le nombre de fois qu'est contenu le diamètre du cercle dans sa circonférence, mais 3,14 c'est pour abréger la suite interminable, qui va à l'infini des décimales après le 3.

~charabia~ le 16-09-2007 à 00:00
 

Oula, loin de moi l'idée d'entrer dans un débat philosophique. Ce n'est pas mon domaine !
Je suis content d'avoir pu clore ce sujet sur cette démonstration.
Quant à l'exemple de Pi, j'avoue que c'était pas tip top, mais faute de mieux...



~Gscorpio~ le 20-09-2007 à 00:00
 

Merci Charabia, merci Gscorpio, j'ai difficilement rencontré des gens aussi sympas ! Ca doit être l'influence Werberienne... Je n'ai donc rien à ajouter, sinon que 0.99 est mathématiquement égal à 1.
Humbles salutations !

~Lenny~ le 21-09-2007 à 00:00
 

Merci Gscorpio d'avoir clôturé ce débat sur 0,9999 à l'infini = 1, par ma démonstration mathématique... Dommage que toi et lenny ayez été les seuls à réagir...

Lenny, tu es un jeune homme sympa; l'humilité, tant qu'elle n'est pas destinée à t'écraser, ou à éviter les conflits qui malheureusement, lorsqu'ils ne sont pas réglés, provoquent des contentieux, c'est bien de la pratiquer... C'est comme cela qu'on apprend de la vie !

Mais finalement, l'humilité, c'est quelque chose de positif, je ne sais pas pourquoi je t'en parle comme quelque chose qui pourrait dégénérer en négatif...

Tu vois, j'ai 58 ans bientôt, et cette égalité de 0,9999 à l'infini = 1, je l'avais admise lors de mes études, quand j'avais ton âge...
Si on l'admet, en regardant plus loin que ce que veulent dire les nombres, on voit bien des choses différemment aussi...

C'est de cette dimension philosophique dont je voulais parler lorsque j'ai dit à Gscorpio qu'il entrait dans une dimension philosophique...
Bien des choses à vous deux.

charabia

(Dans "les fourmis", on demande aussi au lecteur, par entremise du roman, de résoudre un petit problème... Celui des allumettes... Bon nombre de gens ne voit la géométrie qu'à plat... Il suffit de se mettre dans un autre monde visuel, et le problème n'en est plus un, la solution saute aux yeux...)

~charabia~ le 22-09-2007 à 00:00
 

Heu... à vous tous;

ayant fait maths sup et math spé, on a montré que ce problème est juste un problème de définition de l'ensemble des réels (tous les 0,125365442...) qui ne sont pas des fractions.

Pour éviter d'avoir 2 réels différents qui sont solution d'une même équation, on admet que 1/3=0.333333333333... et que ce sont deux écritures différentes du même réel ;

tout comme 0.9999999... est une écriture du réel 1 (peu utilisée il est vrai).


Explication de mémoire, je n'ai pas le cours dessus mais c'est légèrement plus compliqué!



~fonfon~ le 15-10-2007 à 00:00
 

~Syllvion~ le 22-11-2007 à 00:00
 

Syllvion : non, la vraie notation c'est 0.9 avec une barre au-dessus du 9, ta notation à toi insinue juste qu'il y a beaucoup de 9, mais que ça s'arrête (et oui, tu as mis un dernier 9 ^^).

Sinon, voici une autre démonstration à laquelle j'ai pensé, et qui est tout aussi intéressante :

Tout d'abord, je vais faire une démonstration qui permettra d'écrire sous forme fractionnaire des nombre de la forme 0.abcdabcdabcd... (Ici la période est abcd, mais la démonstration sera valable pour toute les périodes, avec autant de chiffres que l'on veut, pas seulement 4)

Posons :
p = Période du chiffre
X = 0,ppppp... etc à l'infini
N : nombre de chiffre dans la période.

Donc on a :
X = 0.ppp...
X*10^N = p,ppppppp...etc
X*10^N = p + 0.pppppppp....
X*10^N = p + X
X*10^N - X = p
X (10^N - 1) = p
X = p/(10^N - 1)

En général, tout nombre de cette forme peut s'écrire : (période/N 9 à la suite) avec N = nombre de chiffres dans la période.


Ici prenons 0.999...
La période de ce chiffre est donc "9", et il y a un chiffre dans cette période (donc N = 1).

Donc 0.999... peut s'écrire sous une forme fractionnaire qui est : 9/(10^1 - 1) = 9/9 = 1

~Styfore~ le 02-02-2008 à 00:00
 

Voici ma réponse :

j'ai fait ça partie par partie, et voilà ce que j'en ai déduit :

sa question est très bien formulée car il a pris 10x.
Ex : s'il aurait pris 5x = 4.999... ç'aurait été faux.

J'explique mon raisonnement :

2x = 1.999...8
3x = 2.999...7
4x = 3.999...6
5x = 4.999...5
...
9x = 8.999...1
10x = 9.999...9 mais avec un chiffre décimal en moins.

Donc ça voudrait dire que ça serait l'infini moins un chiffre décimal...
C'est un peu dupe mais bon voilà.

Ps : si vous remarquez, arrivé à 10 on ajoute un chiffre de plus que les autres (ceux qui font terminer de 1 à 9), ce qui enlève une décimale dans l'autre partie.

Donc 100x retire 2 décimales au chiffre de départ.

~protector~ le 26-07-2008 à 00:00
 
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