Suite de Fibonnacci

La suite de Fibonnacci est la suite mathématique la plus connue et la plus amusante. On l'appelle aussi le développement des lapins.


1) Introduction

Voici une suite : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 ....
Quel est la suite ??

Solution :
C'est facile, on additionne les deux derniers pour avoir le suivant ( 1+1=2, 13+21=34...), la suite est donc 21 +34 = 55

2) Les lapins

On l'appelle développement des lapins car on peut symboliser chaque membre de cette suite par des mois et le nombre correspondant au nombre de couples de lapins (mathématiquement, n est le mois, Un est le nombre de couples de lapins)

Voyons ceci dans ce tableau :

nombres de mois : nombre de couples de lapins
1 : 1
2 : 1
3 : 2
4 : 3
5 : 5
6 : 8
7 : 13

Vous ne comprenez pas le rapport avec les lapins ? Alors voici le raisonnement :

Le premier mois : j'achète un couple de lapins encore petit.

Le deuxième mois : je n'ai pas de nouveaux lapins du fait que les lapins petits ne sont pas féconds, mais malgré cela mon couple de lapins est devenu adulte et donc fécond.

Le troisième mois : mon couple adulte m'a offert un couple de lapins (petits : ils viennent de naître). J'ai donc deux couples de lapins : 1 grand et 1 petit.

Le quatrième mois : le grand m'a redonné 1 nouveau couple petit, et celui qui est né le mois dernier est devenu adulte. J'ai donc 3 lapins : 2 grand + 1 petit.

Le cinquième mois : j'ai deux nouveaux couples (car j'avais 2 grands couples) : celui qui est né le mois dernier devient grand. J'ai donc 5 lapins : 3 grands et 2 petits.

On peut reprendre le tableau précédent et y ajouter :

nombre de mois : nombre de couples de lapins
1 : 1 dont 1 petit
2 : 1 dont 1 grand
3 : 2 = 1+1 dont 1 grand et 1 petit
4 : 3 = 2+1 dont 2 grands et 1 petit
5 : 5 = 3+2 dont 3 grands et 2 petits
6 : 8 = 5+3 dont 5 grands et 3 petits
7 : 13= 8+5 dont 8 grands et 5 petits

On remarque que le nombre de grands et de petits redécrivent la suite de Fibonnacci.

3) Le nombre d'or et autres particularités

On remarque tout d'abord que si on prend deux nombres consécutifs de la suite de Fibonnacci, ils sont premiers entre eux ou alors l'un sur l'autre forme une fraction irréductible.

Ecrivons ces fractions les unes après les autres :

1 2 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 ......

Cette nouvelle suite continue et converge sur ( c'est-à-dire tend vers) phi, le nombre d'or (voir l'article)
phi = 1 + (1 / ( 1 + (1 / ( 1 + (1 / ( 1 + (1 /...

Voilà, je ne pense pas me souvenir d'autre chose. Je pourrais écrire comment on trouve le nième terme mais ce n'est pas intéressant, et je vous laisse le trouver si vous êtes de bons matheux...

Indice : c'est lié aux proportions du panthéon ou de la pyramide de Khéops.

 
 
~bertrandpierre~ Publié le : 07/01/2007

La suite du nombre d'or ! Mais pourquoi cela ?

Beaucoup de personnes connaissent la suite Fibonacci : 1 1 2 3 5 8 13 ... On la construit en ajoutant les deux termes précédents : 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3 etc. On sait également que celle-ci est intimement liée au nombre d'or Phi =1.618. Mais quel est le lien ?

On définit une suite mathématique comme une application allant des nombres entiers naturels vers les réels. Par exemple la suite Un=2n. Pour n=0, U0=0, U1=2, U2=4.....

La suite de Fibonacci se définit de la manière suivante : {U0=1; U1=1; Un+2=Un+1+Un}

On appelle ces suites des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 ! Quel nom barbare.

Vous me direz : quel lien avec phi ? Eh bien on peut mettre cette suite sous la forme Un=a((1-racine de 5)/2)n+b((1+racine de 5)/2)n et on remarque que (1+racine de 5 )/2 = 1.618=phi ! ! !

~Konok~