Théorie des nombres

La théorie des nombres, branche des mathématiques traitant des propriétés et des rapports entre les nombres.


Prolongement de l'arithmétique, la théorie des nombres s'intéresse plus particulièrement à l'étude des entiers et aux propriétés qui en découlent.

Multiples et diviseurs

Si a, b et c sont des entiers tels que a = b.c, on dit alors que a est un multiple de b. De même, a est un multiple de c. Quant à b et c, ils sont appelés diviseurs ou facteurs de a. Les entiers pairs sont des multiples de 2, comme - 4, 0, 2 et 10 ; les entiers impairs sont des entiers non pairs, tels que - 5, 1, 3 ou 9. Un nombre parfait est un entier positif égal à la somme de tous ses diviseurs. Par exemple, 6 -- qui est égal à 1 + 2 + 3 -- et 28 -- qui est égal à 1 + 2 + 4 + 7 + 14 -- sont des nombres parfaits. Tout nombre non parfait est dit imparfait. Il est dit déficient lorsque la somme de ses diviseurs positifs propres est inférieure à lui-même, et abondant dans le cas contraire. Ainsi, 9 est déficient car ses diviseurs sont 1 et 3. Le nombre 12, lui, est abondant car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4 et 6.


Nombres premiers

Les nombres premiers représentent une partie importante de la théorie des nombres. On dit qu'un entier naturel est premier s'il n'admet comme diviseurs que 1 et lui-même, et qu'un entier relatif est premier s'il n'admet comme diviseurs que 1, - 1, lui-même et son opposé. Ainsi, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23 sont premiers. Tout nombre entier se décompose sous la forme unique d'un produit de facteurs premiers. Par exemple, 60 = 1 × 2 × 2 × 3 × 5.


Congruence

Soient a, b et m trois entiers relatifs tels que (a - b) soit un multiple de m. On dit alors que a est congruent à b modulo m, ce qui s'écrit :

a : b (mod m)


Cette expression est appelée relation de congruence. La théorie des congruences est d'une grande importance en théorie des nombres.

Il existe de nombreuses théories concernant les mathématiques, si vous en connaissez, libre à vos commentaires !

 
 
~liloo~ Publié le : 23/05/2007

 

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Du lemme des tiroirs



La combinatoire regorge de démonstrations intéressantes, surprenantes, astucieuses, ou paradoxales, ou les quatre en même temps. Nous allons faire un petit point de combinatoire à propos du principe des tiroirs/chaussettes, qui illustre cette énigme bien simple :
Dans le noir, on dispose de chaussettes noires et blanches, on souhaite obtenir une paire de chaussettes de la même couleur. Combien de chaussettes au minimum faut-il prendre ?
La réponse est 3, car il n'y a que 2 types de chaussettes, donc à partir de 3, on est sûr d'avoir au moins 2 chaussettes du même type.

La formulation mathématique de la chose est :
Soient E et F deux ensembles finis avec n = Card(E) > Card(F) = m
Soit f une application de E dans F.
Alors f ne peut être injective, c'est-à-dire qu'il existe au moins un élément de F qui est atteint au moins deux fois.

De manière plus imagée, ça signifie que si l'on a n objets à ranger dans m tiroirs, il y aura au moins un tiroir qui possédera deux objets du même type.

Dans les exemples simples et surprenants (mais sans forcément d'implications majeures), il y a celui-ci :

Énoncé :

Soient n entiers a_1,…,a_n, distincts … ou non.
Il existe alors toujours un ensemble d'entiers consécutifs a_k+1 à a_l dont la somme est un multiple de n.

Preuve :

Pour commencer, il faut poser nos ensembles qui serviront de tiroirs et d'objets.
On va commencer par l'ensemble objets :
E := { 0, a_1, a_1+a_2, … , a_1 + a_2 + … + a_n }
De cardinal n+1.

On pose ensuite l'ensemble image :
F := { 0, 1 , … , n-1 }
L'ensemble des restes possibles par la division d'un élément de E par n.
Ce qui justement nous donne la fonction f à poser :
f : x -> r(x,n)
Le reste de la division euclidienne de x par n.

Et donc, d'après le principe des tiroirs, il existe deux nombres k et l, avec k < l tels que :
a_1 + a_2 + … + a_k et a_1 + a_2 + … + a_l possèdent le même reste par la division par k.
Alors leur soustraction est divisible par n.
Une preuve simple est : a = n.q + r, b = n.q' + r donne : a - b = n(q-q') + 0 qui est bien un multiple de n.

Or comme k < l, leur soustraction mène à la disparition des k premiers termes de la somme. D'où :
a_k+1 + a_k+2 + … + a_l est divisible par n.

On a donc ici une petite démonstration amusante qui fait intervenir des principes simples de combinatoire ainsi que d'arithmétique.
On remarque encore quelque chose d'amusant, c'est que c'est un théorème d'existence. C'est-à-dire qu'il donne l'existence d'une telle somme sans la préciser.
Les théorèmes de ce type sont très utiles en mathématique lorsqu'il s'agit d'argumenter la validité d'un théorème dans un cas donné, il y a par exemple le théorèmes des valeurs intermédiaires, qui affirme l'existence d'une solution à l'équation f(x) = c dans [a,b] si :
* f est continue sur [a,b]
* c appartient à f([a,b])

Si ces deux conditions sont validées, on peut par exemple commencer à chercher une solution. Si on sait qu'il n'y a pas de solutions, ce n'est pas la peine de chercher. (Attention, ce théorème ne donne que l'existence d'une solution dans le domaine donné, rien n'empêche la présence de solutions à f(x) = c hors de l'intervalle [a,b] )
Mais là on sort du domaine de l'arithmétique pour entrer dans l'analyse, encore un domaine mathématique.

Je pense que si un article est à faire sur une branche des mathématiques en particulier, ça serait la théorie des ensembles.

~Lebensbringer~

 

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