Théorie des nombres

La théorie des nombres, branche des mathématiques traitant des propriétés et des rapports entre les nombres.


Prolongement de l'arithmétique, la théorie des nombres s'intéresse plus particulièrement à l'étude des entiers et aux propriétés qui en découlent.

Multiples et diviseurs

Si a, b et c sont des entiers tels que a = b.c, on dit alors que a est un multiple de b. De même, a est un multiple de c. Quant à b et c, ils sont appelés diviseurs ou facteurs de a. Les entiers pairs sont des multiples de 2, comme - 4, 0, 2 et 10 ; les entiers impairs sont des entiers non pairs, tels que - 5, 1, 3 ou 9. Un nombre parfait est un entier positif égal à la somme de tous ses diviseurs. Par exemple, 6 -- qui est égal à 1 + 2 + 3 -- et 28 -- qui est égal à 1 + 2 + 4 + 7 + 14 -- sont des nombres parfaits. Tout nombre non parfait est dit imparfait. Il est dit déficient lorsque la somme de ses diviseurs positifs propres est inférieure à lui-même, et abondant dans le cas contraire. Ainsi, 9 est déficient car ses diviseurs sont 1 et 3. Le nombre 12, lui, est abondant car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4 et 6.


Nombres premiers

Les nombres premiers représentent une partie importante de la théorie des nombres. On dit qu'un entier naturel est premier s'il n'admet comme diviseurs que 1 et lui-même, et qu'un entier relatif est premier s'il n'admet comme diviseurs que 1, - 1, lui-même et son opposé. Ainsi, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23 sont premiers. Tout nombre entier se décompose sous la forme unique d'un produit de facteurs premiers. Par exemple, 60 = 1 × 2 × 2 × 3 × 5.


Congruence

Soient a, b et m trois entiers relatifs tels que (a - b) soit un multiple de m. On dit alors que a est congruent à b modulo m, ce qui s'écrit :

a : b (mod m)


Cette expression est appelée relation de congruence. La théorie des congruences est d'une grande importance en théorie des nombres.

Il existe de nombreuses théories concernant les mathématiques, si vous en connaissez, libre à vos commentaires !

 
 
~liloo~ Publié le : 23/05/2007

 

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