Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est une fonction fantastique qui permet de transformer une addition en multiplication et une soustraction en division. D'où vient-elle? Et jusqu'où s'étend son pouvoir?


Mathématiques

>>En mathématiques, on utilise la dérivée d'une fonction pour déterminer ses variations (croissance, décroissance) . Or, le processus de dérivation possède un processus inverse : la primitive.

Or, on admet couramment que :

Primitive(1/x)=ln (x)

Mais si l'on tente de calculer avec les méthodes habituelles la primitive de (1/x) on a :

Prim (1/x) =Prim(x^-1)
=(1/(-1+1))*x^(-1+1)
=1/0 !!!!!!!!

Or, il est impossible de diviser par 0 ! Néanmoins, l'existence de la primitive de 1/x est prouvée. Et c'est la fonction ln (logarithme népérien)...

En outre, la fonction exponentielle est la fonction réciproque de ln. C'est-à-dire que ln(e^x)=x, avec e, le nombre de Neper (qui vaut environ 2.719...).

Physique

>>De plus, 1 représente le minéral et 0 l'œuf, l'énergie,...

On peut alors dire que 1/0 est la représentation du passage du minéral à l'énergie.
Remarquons qu'en physique nucléaire, la perte de masse lors de la désintégration des noyaux libère de l'énergie. Ce qui correspond au passage du 1 vers le 0.
Or, les lois qui régissent l'activité (nombre de désintégrations par seconde) d'un échantillon radioactif sont des lois exponentielles ou logarithmiques...

Chez l'Homme

>>La fonction ln se retrouve même au sein de l'horloge interne, à l'échelle d'une vie.
Au plus profond de nous-mêmes, la fonction ln influe sur notre perception du temps.
Pour un jeune enfant, une année passe extrêmement vite alors que pour le vieillard elle dure une éternité...

Conclusion

>>Enfin, pour nous montrer le pouvoir du logarithme népérien, lisez cette toute petite histoire :

Un homme de 60 ans se promène dans la rue et aperçoit une jeune fille qui n'a guère plus de 25 ans. Elle est magnifique. Malgré lui, son cœur chavire. Il décide de l'approcher pour lui déclarer sa flamme. La jeune femme est touchée mais elle ne peut donner suite à une si prompte rencontre.

- Monsieur, ç'eut été avec beaucoup de bonheur que j'eusse accepté de vous voir, mais vous êtes un homme mûr, dont l'expérience fait de moi une petite fille.

- Mademoiselle, ignorez-vous donc que l'expérience ne se mesure pas par l'âge, mais par le logarithme népérien de celui-ci ? Regardez-moi : j'ai une expérience de ln(60)=4.1 et vous de 3.2...Nous sommes en réalité plus proches que vous ne le pensiez.

- Vous me troublez, mais l'expérience n'attend-elle pas le nombre des années ?

- En effet, au cours du temps, l'expérience ne cesse de croître. Mais comme le logarithme népérien, elle croit de moins en moins vite. Croyez-moi, quel que soit votre âge, vous apprendrez moins dans la décennie à venir que dans celle écoulée.

La jeune fille, étonnée suivit le vieil homme jusque dans un parc où ils discutèrent du secret des nombres... Mais au bout de quelques heures, il dut la quitter car son épouse s'impatientait et que, comme la fonction exponentielle, la colère d'une femme ne cesse d'augmenter au cours du temps...

 
 
~Telimektar~

Je rajoute 2 précisions

*** Histoire
Historiquement, ces fonctions ont servi aux marins, astronomes, mathématiciens au travers de leur utilité dite de composition.

En fait si l'on a une liste de produits, du type x = a * b * c [ a,b,c étant des millions par exemple]etc. cela devient vite compliqué de poser le calcul.

En composant par le logarithme, on transforme la liste de produits en sommes, bien plus facile à calculer, on obtient quelque chose du type ln(x)=ln(a)+ln(b)+ln(c).

Vous allez me dire, on n'est guère avancés, on ne sait pas calculer le log. népérien de tel ou tel nombre !

En fait, nos aïeux se servaient de tables qui donnaient la valeur (approchée) du log népérien de tel ou tel nombre. Nos grands parents avait ça aussi à l'école, sous forme d'une règle - au demeurant très esthétique - avec des éléments coulissants permettant de calculer ces logarithmes.

***
Les fonctions logarithmiques et exponentielles (c'est donc les mêmes à un inverse près), sont partout.
Echelles de décibels, désintégration atomique, processus biologiques, etc.

En fait il ne faut pas voir là une conspiration divine mais plutôt retenir ce qu'il suit, c'est presque philosophique et je l'espère abordable pour tous.

En sciences, nous avons besoin de calculer des taux de variations, c'est à dire des changements d'une valeur, relativement à une autre.
Par exemple la vitesse est exprimée en "de combien je me déplace, en combien de temps". Si la vitesse augmente, cela veut dire que pour un même temps, vous parcourez plus de distance.
La variation de la vitesse, est l'accélération. Ainsi l'accélération mesure "vais je plus vite que précédemment, moins vite ?".

En fait, ce que je pense fondamental à propos des fonctions expo et log, c'est qu'elles reflètent des taux de variations constants.

Ainsi, si vous mettez un nénuphar dans un lac très grand, et que l'on oublie toutes les contraintes biologiques, en ne fixant qu'un taux de doublement de la surface occupée, tous les jours....alors on se retrouve avec (en unités arbitraires, de jours en jours, 1, puis 2, puis 4 puis 8, puis 16, etc.).
On voit que le phénomène 'accélère'..., qu'il a une croissance exponentielle, etc. En fait la vitesse de colonisation est doublée chaque jour.
L'accélération est donc constante !
Ce long exemple arrive à son terme.
Les fonctions exponentielles décrivent mathématiquement ce genre de 'comportement', [par construction !], et sont donc archi utilisées en modélisation de phénomènes simples.
Concrètement, quand vous avez posé sur papier l'équation correspondante, et que finalement vous observez qu'elle triple, il suffit de changer l'indice de votre expo, pour changer la courbe, concrètement, l'indice affecté à l'exponentielle reflète la vitesse de l'accélération...

Dans cet exemple, ou l'on a 2, 4, 8, 16, etc. On a le même résultat par 2 puissance 1, 2 puissance 2, 2 puissance 2 puissance 2, etc.
C'est PRECISEMENT ce que ces fonctions décrivent.

Le rapport avec les marins et votre grand parent n'est plus très clair, mais il repose aussi sur ce mécanisme (si on peut parler ainsi).

On nous dit que le logarithme est la réciproque de l'exponentielle ?
Eh oui ! Posons que 100 est la surface du lac occupée à saturation, en remontant en arrière on a 50, 25 puis 12,5 etc. On s'approche de 0, mais on ne l'atteint jamais ! On parle de décroissance exponentielle, ou logarithmique. Le vocable mathématique, mettrait il des bâtons dans les roues à la compréhension ? Non, car c'est bel et bien la même chose.

Mais alors, si l'on atteint jamais zéro, alors on n'a pas introduit de nénuphar un grand nombre de jours avant, saturation ??
Si, mais là, la simplification fait rentrer en jeu, une simplification pour l'explication, qu'il est difficile d'extraire sans vous embrouiller plus.
Il faut un autre exemple :

Prenons que 100 est la quantité d'élément radioactif au temps 0.
Les matériaux radioactifs, sont décrits entre autre en terme de 'demi-vie', temps qu'il faut pour que l'on observe plus que la moitié du matériel radioactif initialement présent, l'autre moitié s'étant désintégrée ne rentre plus en compte.
Si la demie vie est un jour, alors demain, il n'y aura plus que 50, après demain 25, etc.

Eh oui, comme les nénuphars.

Cela ne veut pas dire, que les atomes radioactifs se concertent pour se désintégrer en choeur...il s'agit en fait de propriété intrinsèque du matériel radioactif, qui a statistiquement un probabilité de désintégration, que l'on relie, pour simplifier, à quelque chose de plus palpable comme la demie-vie.

Si l'on considère la demi-vie, comme le temps de doublement de surface des nénuphars, et l'état initial (100 pour les atomes, vide pour les nénuphars) alors en arrivant un certain jour, mettons 12,5% de la quantité initiale, et 8 pour les nénuphars, alors on sait que nous sommes au 3eme jour après démarrage du processus (respectivement désintégration atomique et peuplement du lac).

C'est ces propriétés de prédictions qui sont à la base de la technique de radio datation, du style carbone 14.
L'état initial étant la mort (ultime moment ou l'on fixe du Carbone 14 (instable, vous l'aurez compris], naturellement présent dans notre alimentation). Apres la mort, on ne fixe plus de carbone 14, mais lui se désintègre. Si l'on sait l'état initial (masse de l'échantillon * proportion de C14 par rapport au carbone 12, 'normal'), alors cela revient en comptant le nombre de désintégrations, à inférer l'age de l'échantillon, a compter les nombre de nénuphars en somme.

C'est cela qui excite les scientifiques en général...inférer.

Tout ça pour dire qu'encore une fois, nombre de processus 'naturels' sont décrit par ces fonctions [je vous l'accorde hallucinantes], qui rendent compte de propriétés d'accélération constantes.
C'est donc des phénomènes d'accélération (ou de décélération constante) qui grouillent autour de nous, pas des fonctions expo et logarithmes !

En espérant avoir élargi le propos...

PS. Renaud a raison !
x² ' = 2x , 2x^3 ' = 6x² etc. et x^n ' = nx^(n-1) !!

~Freedom for Monocotyledones~

En électronique, on a une utilisation intéressante du logarithme népérien. Pour fabriquer un multiplicateur de signaux a et b. On passe transforme chaque signal en son logarithme, on a deux signaux ln(a) et ln(b) on les additionne, ce qui donne : ln(a)+ln(b)=ln(a*b) ;
Puis on prend l'exponentielle du signal résultant ce qui donne :

exp(ln(a*b))=a*b.

Astucieux non?

~superchocho~