Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est une fonction fantastique qui permet de transformer une addition en multiplication et une soustraction en division. D'où vient-elle? Et jusqu'où s'étend son pouvoir?


Mathématiques

>>En mathématiques, on utilise la dérivée d'une fonction pour déterminer ses variations (croissance, décroissance) . Or, le processus de dérivation possède un processus inverse : la primitive.

Or, on admet couramment que :

Primitive(1/x)=ln (x)

Mais si l'on tente de calculer avec les méthodes habituelles la primitive de (1/x) on a :

Prim (1/x) =Prim(x^-1)
=(1/(-1+1))*x^(-1+1)
=1/0 !!!!!!!!

Or, il est impossible de diviser par 0 ! Néanmoins, l'existence de la primitive de 1/x est prouvée. Et c'est la fonction ln (logarithme népérien)...

En outre, la fonction exponentielle est la fonction réciproque de ln. C'est-à-dire que ln(e^x)=x, avec e, le nombre de Neper (qui vaut environ 2.719...).

Physique

>>De plus, 1 représente le minéral et 0 l'œuf, l'énergie,...

On peut alors dire que 1/0 est la représentation du passage du minéral à l'énergie.
Remarquons qu'en physique nucléaire, la perte de masse lors de la désintégration des noyaux libère de l'énergie. Ce qui correspond au passage du 1 vers le 0.
Or, les lois qui régissent l'activité (nombre de désintégrations par seconde) d'un échantillon radioactif sont des lois exponentielles ou logarithmiques...

Chez l'Homme

>>La fonction ln se retrouve même au sein de l'horloge interne, à l'échelle d'une vie.
Au plus profond de nous-mêmes, la fonction ln influe sur notre perception du temps.
Pour un jeune enfant, une année passe extrêmement vite alors que pour le vieillard elle dure une éternité...

Conclusion

>>Enfin, pour nous montrer le pouvoir du logarithme népérien, lisez cette toute petite histoire :

Un homme de 60 ans se promène dans la rue et aperçoit une jeune fille qui n'a guère plus de 25 ans. Elle est magnifique. Malgré lui, son cœur chavire. Il décide de l'approcher pour lui déclarer sa flamme. La jeune femme est touchée mais elle ne peut donner suite à une si prompte rencontre.

- Monsieur, ç'eut été avec beaucoup de bonheur que j'eusse accepté de vous voir, mais vous êtes un homme mûr, dont l'expérience fait de moi une petite fille.

- Mademoiselle, ignorez-vous donc que l'expérience ne se mesure pas par l'âge, mais par le logarithme népérien de celui-ci ? Regardez-moi : j'ai une expérience de ln(60)=4.1 et vous de 3.2...Nous sommes en réalité plus proches que vous ne le pensiez.

- Vous me troublez, mais l'expérience n'attend-elle pas le nombre des années ?

- En effet, au cours du temps, l'expérience ne cesse de croître. Mais comme le logarithme népérien, elle croit de moins en moins vite. Croyez-moi, quel que soit votre âge, vous apprendrez moins dans la décennie à venir que dans celle écoulée.

La jeune fille, étonnée suivit le vieil homme jusque dans un parc où ils discutèrent du secret des nombres... Mais au bout de quelques heures, il dut la quitter car son épouse s'impatientait et que, comme la fonction exponentielle, la colère d'une femme ne cesse d'augmenter au cours du temps...

 
 
~Telimektar~

 

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Je n'ai pas tout lu, mais j'aimerais surtout savoir à quoi ça sert ?...

~Banzai~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Commence par lire jusqu'au bout et ensuite je serai en mesure de répondre à des questions plus précises



~Telimektar~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Mais à quoi sert exactement cette fonction, car j'ai beau chercher, l'explication n'apparaît pas dans ce texte.



~captaincactus~ le 00-00-0000 à 00:00
 

A quel niveau veux-tu savoir à quoi elle sert ?
Je tiens quand même à signaler qu'il n'y a pas besoin de connaître la fonction ln() pour comprendre l'article, simplement admettre qu'elle existe suffit. Je pense qu'ensuite les explications données ci-dessus sont un supplément pour les gens intéressés, car le but n'est pas de refaire les démonstrations et l'étude des fonctions logarithmique et exponentielle.

~Telimektar~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Je n'ai rien compris à la démonstration mathématique (mais comme j'ai déjà mis des années à comprendre que 2 + 2 font 4, on voudra bien m'excuser). Mais j'adore l'histoire du Monsieur et de la jeune fille. Pleine de bon sens.

~Deborah Bernard~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Et voilà pour les maths :

Dérivée : x^n ' = nx^(n-1) (Merci Renaud )

La primitive étant le processus inverse, on a:

Primitive(x^n)=(x^(n+1))/(n+1)

Ici on a 1/x. Or 1/x=x^-1

On reprend la formule de la primitive de x^n avec n=-1, et on obtient :
(x^(-1+1)/(-1+1)=(x^0)/(0)
Or x^0=1
D'où Primitive(1/x)=1/0 !

~Telimektar~ le 00-00-0000 à 00:00
 

La dérivée de (x^n) ne serait-elle pas plutôt n*(x^(n-1))*(x)' ?

~Renaud~ le 18-12-2006 à 00:00
 

Non, non, Renaud, c'est bien (x^n)'=(n-1)[x^(n-1)]

~Donitab~ le 18-12-2006 à 00:00
 

Quelqu'un peut nous aider à y voir plus clair ? Car je m'embrouille avec toutes ces notations en carton, il va falloir qu'on installe un truc pour avoir de jolies équations sur le site...

~Telimektar~ le 18-12-2006 à 00:00
 

Ca y est, j'ai le record?

Désolé, c'était parti pour être succint!

~Freedom for Monocotyledones~ le 18-12-2006 à 00:00
 

Je crois que c'est bon le record est battu
Par contre, poste les précisions dans précision :p

PS : Mes Excuses à Renaud je vais éditer mon engin du démon de suite!

~Telimektar~ le 19-12-2006 à 00:00
 

Pareil, désolé Renaud, en effet tu as raison!

~Donitab~ le 20-12-2006 à 00:00
 

C'est logarithme (log) et exponentiel (exp) qui sont au restaurant ; log prend de tout : soupe, entrée, viande, poisson, salade, fromage et dessert.
Exp se contente d'une petite salade.

La question est : qui paye ?

Réponse: c'est exponentiel, car logarithme népérien (ne paie rien).

~Elfe-avariel~ le 24-09-2007 à 00:00
 

Hello à tous,

alors la dérivée de x^n est comme le dit Renaud, n*x^(n-1) (car x' = 1)

Donc la primitive est donnée par : x^(n+1) / (n+1)

Soit la division 1/0 en effet. Même si ce n'est pas très "mathématiques" comme raisonnement.

En fait la fonction inverse est une "sale" fonction, elle ne descend pas assez vite pour la "mesurer à l'infini" (ça explique pourquoi le LN tend vers l'infini), et descend trop vite pour la "mesurer en 0", ce qui explique la limite infinie en 0 de LN.

Pour répondre à Banzai et Captaincactus, la fonction LN sert à transformer des produits en somme : ln(2*3) = ln(2) + ln(3).
Dans des gros produits, on prenait, avant l'invention des calculettes, des tables de logarithmes, on faisait une somme et on lisait la table à l'envers pour obtenir le résultat.

La fonction logarithme se trouve un peu partout en science, par exemple pour mesurer l'acidité. On mesure le taux d'une molécule (H3O+) et en prenant le LN on obtient le PH (enfin l'opposé du PH).

Comme le LN va de plus en plus lentement, il y a beaucoup plus de variations en un PH de 1 et 2 qu'entre un PH de 9 et 10. C'est pour ça que dire que le Coca à un PH plus proche de l'acide sulfurique que de l'eau n'a aucun sens car c'est logarithmique.

Autre application, non scientifique, en Histoire par exemple, l’échelle des temps indique que pendant des millénaires (en Préhistoire) il ne se passait RIEN, et plus on avance dans le temps, plus on a d'informations sur les événements, c'est donc exponentiel, et pour représenter un beau graphique, on prend une échelle logarithmique.
(Il suffit de voir les programmes d'histoire : de -100 000 à 1914 en 2nde, de 1914 à 1945 en 1ère, de 1950 à nos jours après).

Je pense en avoir assez dit...

GOOD LUCK ^^

~Tyndra~ le 07-06-2011 à 14:42
 

Bonjour,
La fonction ln était à l'origine faite pour transformer les multiplications enb additions et non l'inverse.

~steph29~ le 22-02-2012 à 14:11
 
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