Parties d'échecs

Combien de parties d'échecs différentes pourrait-on théoriquement jouer?


Voici un "petit" calcul qu'effectua le mathématicien russe Yakov Perelman (1882-1942) pour savoir combien de parties d'échecs différentes il est possible de jouer :

Lors du premier coup, les blancs peuvent choisir entre 20 possibilités (les 16 coups des 8 pions dont chacun peut avancer de 1 ou 2 cases plus 2 coups pour chaque cavalier). Les noirs peuvent ensuite commencer par le même nombre de coups, ce qui donne 20x20=400 coups après le premier coup de chaque joueur.

Ensuite, pour les 5 coups suivants, nous allons dire qu'il existe 20 possibilités pour chaque joueur. Puis il faut compter 30 variantes possibles pour chaque joueur pendant le reste de la partie. En admettant qu'une partie dure en moyenne 40 coups, nous obtenons donc pour le nombre de parties différentes : (20x20)^5 x (30x30)^35

Pour simplifier le calcul, le mathématicien propose cette solution : (20x20)^5 x (30x30)^35 = 20^10 x 3^70 x 10^80 puis il remplace 2^10 par 1000 (au lieu de 1024)

Puis (ça se complique) il propose le calcul suivant :
3^70 = 3^68 x 3^2 ~ 10(3^4)^17 ~ 10 x 80^17 = 10 x 8^17 x 10^17 = 2^51 x 10^18 = 2(2^10)^5 x 10^18 = 2 x 10^15 x 10^18 = 2 x 10^33

Et donc finalement on arrive à :
(20x20)^5 x (30x30)^35 ~ 10^3 x 2 x 10^33 x 10^80 = 2 x 10^116

Ce qui en français signifie qu'il y a 2 fois 10 puissance 116 parties d'échecs possibles (2 avec 116 zéros derrières).

Puis le mathématicien calcule encore que si toute la population mondiale jouait 24 heures sur 24 aux échecs à raison d'un coup par seconde, il faudrait au moins "10^100" siècles (rien que ça) pour jouer toutes les parties possibles (là encore, c'est une approximation).

 
 
~Ender~ Publié le : 29/09/2005

Contrairement à ce qu'il a été dit plus bas, il n'est pas intéressant de sortir les tours dans les premiers coups. L'ouverture peut se jouer comme suit:
1) occuper le centre (cases D4, D5, E4, E5).
2) développer les pièces mineures: fou, cavalier.

Voilà : jouer les tours au début ne surprend pas l'adversaire.
Sur un coup de type A4 (pions exterieur), l'adversaire répond par pion au centre E5 ou D5. La tour sort derrière le pion, ok. Les noirs continue à prendre le centre E5 ou D5, selon le coup précédent. La tour, seule au milieu de ce monde de brutes, n'a pas intéret à se faire remarquer. Elle est dans une position où en avancant un pion on la menace, elle n'a pas intérêt à rester là. Cete ouverture n'a JAMAIS été jouée dans l'histoire des échecs, elle est juste là pour montrer ce qu'on peut faire avec une tour. Faire ca des deux cotés (colonnes A et H) est encore pire : on ne peut plus roquer.
Les tours sont des pièces d'envergures et de longue portée: elles sont TRES puissantes, surtout quand elles sont liées. Les sortir comme ca au premier coup ne permet pas de leur donner de mobilité (pour les raisons exprimées plus haut) et empêche tout espoir de les lier correctement sans perdre un temps précieux dont l'adversaire profitera pour roquer et lier ses tours à lui, tout en faisant les échanges égaux les plus sanguinaires qui soient pour se trouver dans une position qui ne peut qu'être avantageuse.
Sortir les tours sur le côté de l'échiquier n'est en aucun cas intéressant.

~Donitab~

"il y a une infinité de nombres, et pourtant, cet infini est borné";
je ne suis pas d'accord!
Bien sûr, il y a des bornes, mais ce sont les valeurs des nombres qui ont des contraintes. Quand on parle d'une infinité de nombres, on parle de "quantité" et non des valeurs qu'ils prennent. En l'occurence, ici, le "nombre de nombres" entre 1 et 2 est infini, et en aucun cas borné.

Pour ma part, le nombre de cases et de pièces d'un échiquier étant limité et leurs mouvements définis, les combinaisons sont (cela va de soi, je pense) forcément limitées; certes, cette limite est insignifiante pour un cerveau humain, mais elle existe, dans la mesure où une pièce ne peut pas se déplacer sur une case mais sur une autre si, il en est de même pour chacune, le nombre de combinaisons possibles se multipliant à chaque coup.

Mais je vois où tu veux en venir : si les deux joueurs sont des imbéciles (ce qui normalement est à prendre en considération), tu as parfaitement raison : ils pourront jouer indéfiniment sans jamais faire mat ou pat. Mais si l'on considère chaque coup comme aléatoire pour ce genre de calcul, à l'échelle de l'infini, il y aura forcément un gagnant ou un match nul.
En tout cas, une fin. (Ceci est entièrement logique selon les règles de la probabilité, du moins les quelques notions que j'en ai).

~calopsfr~

Oui tu as raison... Pour peu que les deux joueurs aient envie de gagner (ce qui peut être logique quand on dispute une partie, si si je vous l'assure), les probabilités ne sont pas infinies.

Par contre, je reprends le cas des nombres entre 1 et 2. L'ensemble ]1;2[ est borné. Il y a une infinité de nombres là-dedans, évidemment. Je ne remets pas en cause leur existence. Je sais bien que leur valeur est ici limitée... Mais en même temps...

Un exemple: on est capable de trouver dans les réels des ensembles qui ne contiennent pas de nombre premiers de taille infinie, et pourtant l'ensemble des nombres premiers est lui aussi infini... A méditer. ^^

~Donitab~

(Qu'entends tu par "l'infini est relatif" ?)
Il n'a pas été prouvé qu'il existe un nombre défini d'atomes (ce qui serait complètement illogique, il vaudrait mieux définir le nombre des particules les plus petites... et on a encore des doutes quant à leur nature), en revanche il est possible de déterminer précisément (en n'ayant que ça à faire) le nombre de parties d'échecs. Comme on s'accorde le bénéfice du doute, on considère une chose "plus nombreuse" qu'une autre si elle est définie et l'autre non (là encore, tout est relatif).

~calopsfr~

Eh bien, si l'on considère des coups qui ne sont pas réfléchis, c'est-à-dire des coups aléatoires, il y a une infinité de parties d'échecs possibles.
Et je suis d'accord avec Freedom for Monocotyledones, en un sens, l'infini est relatif... Dans le sens où il a une fin ^^.
Je m'explique: entre 1 et 2 il y a une infinité de nombres... Et pourtant, cet infini est borné! Il est donc relatif au point de vue dans lequel on se place...

~Donitab~

La définition des nombres premiers se fait sur R... Admettons que l'on étudie la fonction "nombres premiers"; une fonction n'admettant comme f(x) qu'un nombre premier, f(x) est le nombre premier le plus proche de x (arbitrairement à valeur inférieure). On remarquera que son ensemble de définition est ]-infini;+infini[ (R); leur valeur n'étant ainsi pas bornée, et leur "quantité" pas limitée.
D'où : tout est relatif.

~calopsfr~

Comme tu dis, tout est relatif! L'infini n'échappe pas à cette règle! ^^
Un autre paradoxe: quand un solide est immobile, et que, d'un coup, il "démarre"... Son accélération, au moment où il démarre, est infinie!
Ce sont de petits paradoxes comme ceux-là qui rendent approximatives une définition de l'infini...
(Précision pour les nombres premiers, j'ai fait une erreur, on ne cherche pas dans R les réels, mais dans N, les entiers naturels [0;+l'infini[... Ce qui ne change rien au reste ^^).

~Donitab~

"Dans l'absolu, l'infini est relatif".
Citation : encore moi (pure plaisanterie).

Dans la mesure où l'infini peut être positif ou négatif, il est relatif (cf nombres relatifs).
Mais quand je dis "tout est relatif", c'est "tout est relatif" par rapport à quelque chose, dans la mesure où la vision de l'objet en question est différente selon le "référentiel".

Pour revenir au nombre de parties d'échecs, j'ai réfléchi et tu avais raison : il ne peut certes pas y avoir un nombre de coups infini dans une partie (pour les raisons énumérées avant), mais en revanche, ce nombre n'étant en aucun cas défini, il pourra toujours y avoir une partie comprenant "un coup de plus" qu'une autre, et ainsi le nombre de parties possibles est infini.
Ceci est un paradoxe, car si l'on considère qu'il y a un nombre infini de parties pour ça, on peut aussi dire que le nombre de coups peut être infini lui aussi.
Cependant, selon les règles de la probabilité, le nombre de coups dans une partie (j'insiste : dans une partie) ne peut être infini. Cela fait appel maintenant à la philosophie plus qu'à la logique, (à cause de cette fichue relativité des choses les unes par rapport aux autres).
Le cerveau est-il capable de concevoir deux points de vues apparemment justes tous les deux, et cependant contradictoires ?
Sinon, il lui faudra redéfinir ce qui est contradictoire, ou ces deux points de vue. :p

~calopsfr~

Désolé mais les blancs peuvent commencer par 48 coups. En effet, au premier coup, il est possible de bouger deux pions d'une seule case chacun. Cela fausse donc tous les calculs...

~Kono-chi-ni~

Petite précision concernant le nombre de parties d'échecs : les règles officielles conduisant automatiquement à des parties nulles empêchent un nombre de coups infini dans une partie et partant un nombre de parties infini :

• Position identique répétée 3 fois ;
• 50 coups jouent sans prise ni mouvement de pion ;
• Matériel insuffisant pour mater.

~migacr~

Pour répondre à Kono-chi-ni, ce qui est avancé dans l'article est exact, c'est toi qui as tort. En effet, il est exact que les pions peuvent avancer d'une seule case, tout comme de deux. Il y a 8 pions, donc 16 coups de pions possibles. En ajoutant les 4 mouvements des cavaliers, on arrive donc à 20. Je ne sais pas comment tu as pu arriver à 48 coups possibles...

~Croninet~

Premièrement, comme tu l'as rectifié, les nombres premiers sont définis uniquement sur N [0 ; +infini[.

Ensuite, il faut savoir qu'il est totalement impossible d'établir une fonction f qui associe à un nombre X (X€N) un nombre f(X) par un enchainement de procédé mathématique tel que f(X) soit un nombre premier.
Remarque : ce ne serait d'ailleurs pas une fonction, mais une suite.

Il existe de nombreuses propriétés sur les nombres premiers, mais l'unique définition d'un nombre premier est un nombre possédant exactement 2 diviseurs: 1 et lui-même.
En réalité, on peut considérer que les nombres premiers sont une erreur dans la logique des mathématiques. Ils apparaissent au hasard sur la droite des Réels et sont toujours Entiers positifs (Naturels).

C'est d'ailleurs pour cela qu'il est très difficile de vérifier si un très grand nombre est premier.
En fait, si vous arrivez à trouver un nombre premier de plus de 100 chiffres de long, la CIA vous l'achètera pour la modique somme de 100 000$. =)

~Mikihisa~