Pourquoi tout nombre exposant 0 est égal à 1...

On vous l'a très souvent répété à l'école, mais ce n'est que trop peu souvent qu'on a droit à une explication. Pourquoi A^0=1, A étant un réel différent de zéro ?


En fait, c'est une démonstration tout à fait simple, pour ne pas dire triviale !

Comme nous le savons tous, 1 = A/A (A étant un réel différent de zéro.)

Dans ce cas nous pouvons dire que 1 = A^1/A^1.

Lorsque l'on divise deux puissance de même base, il suffit de soustraire les exposants. On a donc :

1 = A^(1-1)

et donc

1 = A^0

CQFD !

 
 
~Isator~ Publié le : 22/08/2006

 

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De fait, j'ai confondu "entier" et "réel différent de 0"... Ca remonte à pas mal de temps... Merci beaucoup, je cours de ce pas éditer l'article !

~Isator~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Les réels forment ce que l'on appelle un corps, c'est-à-dire un ensemble de nombres usuellement muni de 2 lois : addition et multiplication.
Elles ont toutes deux un élément neutre : 0 pour l'addition, c'est-à-dire que, pour x quelconque : x + 0 = O + x = x, et le 1 pour la multiplication: 1 * x = x * 1 = 1.

Lorsque l'on effectue la mise à la puissance n de x, on effectue un produit de n termes identiques, x * x * x... * x.

Lorsque l'on met x à la puissance 0, on effectue donc un produit vide. Or, une somme vide, sans aucun terme, est égale à l'élément neutre pour l'addition, c'est-à-dire 0. Ainsi, un produit de 0 terme, vide, est égal à l'élément neutre pour la multiplication, c'est-à-dire 1.

Ainsi, 0^0 = 1.

~freud_qo~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Freud_qo, je dois t'avouer que je préfère 100 fois la démonstration d'Isator. Même si la tienne est parfaitement compréhensible, elle est très rigoureuse et imperméable à un esprit non-mathématique.
Si je te concède une très grande rigueur mathématique et le formalisme propre aux mathématiciens, je concède à Isator d'avoir rendu accessible aux non-initiés cette démonstration, qui -avouons le-, au vu de ces "implications" ne nécessitent pas d'introduire les notions de corps.

~Telimektar~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Ma démonstration avait surtout pour but de démontrer que 0^0 = 1, et non pas 0, comme le soutient matthieux, ce qui, je le crois, est dur à expliquer sans parler de produit vide et d'éléments neutres.

Bien sûr, je ne prétend pas en être sûr, et je te concède que cette démonstration est dure à aborder pour un néophyte.

~freud_qo~ le 00-00-0000 à 00:00
 

Quand je fais 0^0 sur ma calculatrice, ça me donne "erreur". Mais pourquoi le calcul de freud_qo est vrai alors que sur la calculatrice, c'est faux? Surtout que les machines sont connues pour ne pas faire d'erreur...

~ssvaklor~ le 29-12-2007 à 00:00
 

0^0 est en effet indéfini.
En fait sa valeur dépend de la définition donnée à la fonction puissance.
Une définition courament utilisée est :
x^y = e^[ln(x)*y]

Or, selon que l'on fait tendre x ou y en premier vers 0, on obtient soit 0 soit 1 :
Si on fait tendre y vers 0 en premier, on a x^0 = e^0 = 1.
Si on fait tendre x vers 0 en premier, on a 0^y = e^(-infini) = 0.

Il n'y a donc pas de valeur à 0^0.

Il y a cependant un certain nombre de cas où pour des raisons de commodités de notation, on assimile 0^0 à 1.

~SpaceWilly~ le 26-04-2008 à 00:00
 
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